题解：学而思编程 美食评委

【题目来源】

学而思编程：美食评委

【题目描述】

一年一度的美食比赛火热进行中，小猴作为评委需要对一些选手的菜品打分，所有菜品从左到右排成一排，编号依次为 \(1∼n\)，第 \(i\) 个菜品的美味值是 \(d_i\)。小猴可以自己选择对那些选手的菜品进行打分，但是必须满足以下两个条件：

① 至少选择两位选手的菜品；

② 选择的第一个选手和最后一位选手的菜品美味值必须相同。

小猴所选的第一个菜品和最后一个菜品之间（不包含第一个和最后一个菜品）的部分菜品可以选择不要，请你帮助小猴计算所选菜品美味值的总和的最大值是多少？

【输入】

第一行一个整数 \(n\)；

第二行 \(n\) 个整数 \(d_1,d_2,\dots,d_n\)。

【输出】

一行一个整数，表示所选菜品美味值的总和的最大值。

【输入样例】

5
1 2 3 1 2

【输出样例】

8

【核心思想】

1. 问题分析：给定长度为 \(n\) 的数列 \(d_1, d_2, \ldots, d_n\)，要求选择至少两个元素，且首尾元素值相同，中间元素可任意取舍，最大化所选元素之和。这是一个贪心累加 + 哈希映射问题，关键在于将问题转化为"以相同值为锚点的最大子段和"，并用哈希表记录首次出现时的前缀和状态。

2. 算法选择：

   • 正数贪心累加：维护 sum 只累加正数元素，作为中间可选部分的最大贡献
   • 哈希映射首次出现：f[v] 记录值 \(v\) 第一次出现时的 sum 状态（即该值作为首元素时，中间正数累加和）
   • 锚点配对：当值 \(v\) 再次出现时，计算以该值为首尾的最大子段和

3. 关键步骤：

   • 初始化：
     • 读取 \(n\) 和数组 \(d[1..n]\)
     • f[v] 初始化为 \(-\infty\)（表示值 \(v\) 尚未出现），因 \(d_i\) 可能为负，用偏移量 +10000 处理下标
     • sum = 0：当前正数累加和，ans = -\infty
   • 遍历数组（\(i\) 从 \(1\) 到 \(n\)）：
     • 尝试配对（若 \(d_i\) 之前出现过）：
       • ans = \max(ans, sum - f[d_i + 10000] + 2 \times d_i)
       • 解释：sum 为当前累计正数和，f[...] 为该值首次出现时的正数和，差值即为两次出现之间所有正数之和，加上首尾两个 \(d_i\)
     • 维护正数和：
       • 若 d[i] > 0：sum += d[i]（只累加正数，负数对中间段无贡献）
     • 记录首次出现：
       • 若 f[d_i + 10000] == -\infty：f[d_i + 10000] = sum（记录该值首次出现时的正数累加状态）
   • 输出 ans

4. 时间/空间复杂度：

   • 时间复杂度：\(O(n)\)，单次遍历数组
   • 空间复杂度：\(O(V)\)，\(V\) 为值域大小（本题约 \(20000\)），哈希表 f

5. 贪心正数累加的核心思想：

   • 问题转化：所选子段 = 首元素 \(v\) + 中间可选部分 + 尾元素 \(v\)，要求最大化。中间部分只选正数最优，因此用 sum 维护到当前位置的所有正数之和
   • 首次出现记录：f[v] 记录值 \(v\) 第一次出现时的 sum，作为"锚点基准"。当 \(v\) 再次出现时，两次 sum 之差即为两锚点间所有正数之和
   • 配对公式推导：当前sum - 首次sum + v + v = 中间正数和 + 首尾两个 \(v\)，等价于子段 \([first\_pos, i]\) 中所有正数加上首尾 \(v\)
   • 负数处理：若 \(d_i < 0\)，不加入 sum（中间不选），但可作为首尾锚点（公式中已加 \(2 \times d_i\)）
   • 至少两个元素的保证：配对时自然需要首尾两个相同值，满足条件①
   • 适用于"首尾相同值约束下的最大子段和"问题，贪心正数累加配合哈希映射可将复杂枚举优化为线性扫描

【解题思路】

【算法标签】

模拟

【代码详解】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
long long n, d[1000005], f[20005], sum, ans = -2e9;  // ans初始化为负无穷
int main()
{
    cin >> n;  // 输入数组长度
    for (int i = 1; i <= n; i++)  // 输入数组元素
    {
        cin >> d[i];
    }

    // 初始化f数组为负无穷
    for (int i = 1; i <= 20000; i++)
    {
        f[i] = -2e9;
    }

    for (int i = 1; i <= n; i++)  // 遍历数组
    {
        // 如果之前出现过相同的数
        if (f[d[i] + 10000] != -2e9)
        {
            // 计算当前子段和：sum - f[d[i]+10000] + 2*d[i]
            ans = max(ans, sum - f[d[i] + 10000] + 2 * d[i]);
        }

        // 只累加正数到sum
        if (d[i] > 0)
        {
            sum += d[i];
        }

        // 如果这个数是第一次出现，记录当前位置的sum
        if (f[d[i] + 10000] == -2e9)
        {
            f[d[i] + 10000] = sum;
        }
    }

    cout << ans << endl;  // 输出最大子段和
    return 0;
}

【运行结果】

5
1 2 3 1 2
8