题解：学而思编程 排队

【题目来源】

学而思编程：排队

【题目描述】

某班有 \(n\) 个学生，编号 \(1\sim n\)。中午下课后，学生们陆续赶到食堂吃饭。食堂只有一个打饭窗口，所以学生们要排队打饭。

小猴是负责维护秩序的志愿者，他需要组织这些学生排成一条队伍买饭就餐。第 \(i\) 位学生的耐心指数为 \(a_i\)，它的含义是：如果在 \(i\) 号之前，排队的人数超过了 \(a_i\)，他就会放弃排队；否则他就会留下。

请问小猴应该如何安排这些学生的排队次序，才能使得留下吃饭的人最多？

【输入】

第一行一个整数 \(n\)；

第二行 \(n\) 个整数 \(a_1,a_2,\dots,a_n\)。

【输出】

一行一个整数，表示留下吃饭的最大人数。

【输入样例】

5
4 1 0 2 1

【输出样例】

4

【核心思想】

1. 问题分析：给定 \(n\) 个学生，每人有耐心指数 \(a_i\)（表示前面最多允许排 \(a_i\) 人，即该学生最多能排在第 \(a_i + 1\) 个位置）。需要安排排队顺序，使留下的人数最多。这是一个贪心排序问题，关键在于将耐心指数转化为位置约束后，按耐心指数升序排列并贪心选取。

2. 算法选择：

   • 升序排序：将耐心指数 \(a_i\) 从小到大排序
   • 贪心选取：按排序后的顺序依次尝试安排，若当前已安排人数不超过 \(a_i\) 则留下

3. 关键步骤：

   • 初始化：读取 \(n\)（学生数量）和耐心指数数组 \(a[1..n]\)
   • 升序排序：sort(a + 1, a + n + 1)，将耐心指数从小到大排列
   • 贪心安排：
     • stay = 0：当前已留下的人数
     • 遍历 \(i\) 从 \(1\) 到 \(n\)：
       • 若 stay \leq a_i：当前已留下的人数不超过该学生的耐心上限，该学生可以留下
         • stay++：已留下人数加 \(1\)
       • 否则：该学生前面人数已超过其耐心，无法留下，跳过
   • 输出 stay

4. 时间/空间复杂度：

   • 时间复杂度：\(O(n \log n)\)，排序 \(O(n \log n)\)，贪心遍历 \(O(n)\)
   • 空间复杂度：\(O(n)\)，存储耐心指数数组

5. 贪心排序的核心思想：

   • 约束转化：耐心指数 \(a_i\) 表示该学生最多能排在第 \(a_i + 1\) 个位置，即前面最多有 \(a_i\) 人。已安排 stay 人时，该学生排在第 stay + 1 位，条件为 stay \leq a_i
   • 交换论证：若存在最优解中某学生 \(x\) 的耐心指数大于某学生 \(y\) 但 \(x\) 排在 \(y\) 前面，交换两者顺序不会使 \(y\) 更不满足条件（因为 \(x\) 的耐心更大），可能使 \(x\) 更易满足，因此升序排列必为最优
   • 贪心最优性：按耐心从小到大安排，确保每个被安排的学生都"刚好够用"其耐心，为后续耐心更大的学生留出空间
   • 等价问题：该问题等价于"最多能选出多少个数，使得第 \(k\) 个被选中的数 \(\geq k-1\)"，经典贪心策略
   • 适用于"位置约束 + 顺序安排"的最优化问题，排序后贪心可保证全局最优

【解题思路】

【算法标签】

贪心

【代码详解】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n, a[1000005], stay;  // stay: 当前可保留的数的个数
int main()
{
    cin >> n;  // 输入n
    for (int i = 1; i <= n; i++)  // 输入数组
    {
        cin >> a[i];
    }

    sort(a + 1, a + n + 1);  // 对数组排序

    for (int i = 1; i <= n; i++)  // 遍历排序后的数组
    {
        if (stay <= a[i])  // 如果当前可保留的数的个数≤a[i]
        {
            stay++;  // 可以保留这个数
        }
    }

    cout << stay << endl;  // 输出最多可保留的数的个数
    return 0;
}

【运行结果】

5
4 1 0 2 1
4