题解：学而思编程 区间质数

【题目来源】

学而思编程：区间质数

【题目描述】

质数是指在大于 \(1\) 的自然数中，除了 \(1\) 和它本身以外不再有其他因数的自然数，例如：\(2,3,5,7,11,...\)。

小猴最近学习了质数，猴博士为了考察小猴对质数的理解，决定给小猴出一道题目：

给定一个长度为 \(n\) 的数列 \(a_1,a_2,\dots,a_n\)，猴博士会向小猴提出 \(q\) 次询问，每次询问，小猴需要回答在该数列中区间 \([l,r]\) 中有多少个质数，区间 \([l,r]\) 表示数列中的第 \(l\) 个到第 \(r\) 个之间（包含 \(l\) 和 \(r\)）所有的数字。

小猴不懂信息学，只会通过数学方法一个一个手算。小猴决定找自己学习信息学的好朋友来帮助他快速解决这个问题，请你帮助小猴完成这个问题。

【输入】

第一行，包含一个整数 \(n\)，表示数列长度；

第二行，包含 \(n\) 个正整数 \(a_1,a_2,\dots,a_n\)，表示给定的数列；

第三行，包含一个整数 \(q\)，表示询问次数；

接下来 \(q\) 行，每行两个整数 \(l,r\)，表示每次询问的区间。

【输出】

共 \(q\) 行，每行一个整数，第 \(i\) 个整数表示第 \(i\) 次询问的结果。

【输入样例】

8
1 2 3 4 5 6 7 8
3
1 3
2 6
1 8

【输出样例】

2
3
4

【核心思想】

1. 问题分析：给定长度为 \(n\) 的数列 \(a_1, a_2, \ldots, a_n\)，\(q\) 次询问区间 \([l, r]\) 内的质数个数。这是一个埃氏筛 + 前缀和问题，关键在于离线预处理质数表，将每次区间查询优化到 \(O(1)\)。

2. 算法选择：

   • 埃拉托斯特尼筛法（埃氏筛）：预处理 \([2, 10^7]\) 范围内所有质数，\(O(V \log \log V)\)
   • 前缀和：s[i] 表示前 \(i\) 个元素中质数的个数，区间查询 \(O(1)\)

3. 关键步骤：

   • 质数筛预处理：
     • flag[x] = true 表示 \(x\) 是质数，初始化全部为 true
     • flag[0] = flag[1] = false：\(0\) 和 \(1\) 不是质数
     • 遍历 \(i\) 从 \(2\) 到 \(10^7\)：
       • 若 flag[i] = true（\(i\) 是质数）：
         • 遍历 \(j\) 从 \(2\) 开始，标记所有 \(i \times j\) 为合数：flag[i \times j] = false
   • 构建前缀和：
     • 读取 \(n\) 和数列 \(a[1..n]\)
     • s[i] = s[i-1] + flag[a_i]：前 \(i\) 个元素中质数的累计个数
   • 处理 \(q\) 次询问：
     • 读取区间 \([l, r]\)
     • ans = s[r] - s[l-1]：区间 \([l, r]\) 内的质数个数
     • 输出 ans

4. 时间/空间复杂度：

   • 时间复杂度：\(O(V \log \log V + n + q)\)，埃氏筛 \(O(V \log \log V)\)，前缀和构建 \(O(n)\)，每次查询 \(O(1)\)
   • 空间复杂度：\(O(V + n)\)，质数标记数组 flag[0..V]，前缀和数组 s[0..n]

5. 离线预处理的核心思想：

   • 查询与数据分离：数列元素值域固定（\(a_i \leq 10^7\)），与询问无关，可预先筛出所有质数
   • 布尔标记数组：flag[x] 实现 \(O(1)\) 质数判定，将"是否为质数"的数学问题转化为数组查表
   • 前缀和降维：区间 \([l, r]\) 内质数个数 = 前 \(r\) 个的质数个数 \(-\) 前 \(l-1\) 个的质数个数，将 \(O(r-l+1)\) 的遍历优化为 \(O(1)\)
   • 埃氏筛原理：质数的倍数一定是合数，从小到大遍历，每个合数被其最小质因子筛除，时间复杂度接近线性
   • 适用于"多区间查询 + 固定值域判定"类问题，离线预处理将重复判定优化为一次筛法 + 多次 \(O(1)\) 查询

【解题思路】

【算法标签】

质数

【代码详解】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1e6+10;
bool flag[10*N];
int a[N], s[N];
int main()
{
    memset(flag, true, sizeof(flag));  // 质数筛
    flag[0] = flag[1] = false;
    for (int i=2; i<=1e7; i++) {
        if (flag[i]) {
            for (int j=2; i*j<=1e7; j++) {
                flag[i*j] = false;
            }
        }
    }
    int n;
    scanf("%d", &n);  // 输入n
    for (int i=1; i<=n; i++) {  // 遍历n个数
        scanf("%d", &a[i]);  // 输入n个数，要用scanf进行优化
        s[i] = s[i-1] + flag[a[i]];  // 使用前缀和，记录i及以前的质数个数
    }
    int q;
    scanf("%d", &q);
    while (q--) {  // 遍历q次询问
        int l, r;
        scanf("%d%d", &l, &r);  // 输入l和r
        printf("%d\n", s[r]-s[l-1]);  // 直接得到[l,r]区间的质数
    }
    return 0;
}

【运行结果】1

8
1 2 3 4 5 6 7 8
3
1 3
2
2 6
3
1 8
4