题解：学而思编程 构建回文（二）

【题目来源】

学而思编程：构建回文（二）

【题目描述】

小猴有 \(n\) 个水晶球排成一排，每一个水晶球的颜色都是红、橙、黄、绿、蓝等等26种颜色中的一种，这些水晶球从左到右依次编号为 \(1,2,...,n\)。

小猴最近刚刚学完回文相关知识点：如果一个字符串不论是从左向右看，还是从右向左看，内容都一样，那么这个字符串就是一个回文字符串。例如 \(ABBA\)，\(AAA\)，\(YRURY\) 和 \(Q\) 都是回文字符串，而 \(ABCA\)、\(ABAB\) 和 \(BA\) 则不是。

猴博士想要测试一下小猴是否完全理解了回文这个一知识点，向他提出了 \(q\) 个相关问题。其中第 \(i\) 个问题是：小猴能否使用编号在 \(l_i\) 到 \(r_i\) 之间（包括两个端点）的所有水晶球，经过任意的重排，使得 \(l_i\) 到 \(r_i\) 之间的所有水晶球在颜色上的排列能构成一个回文，即第 \(l_i\) 个水晶球颜色与第 \(r_i\) 个水晶球颜色相同，第 \(l_i+1\) 个水晶球颜色与第 \(r_i-1\) 个水晶球颜色相同，第 \(l_i-2\) 个水晶球颜色与第 \(r_i-2\) 个水晶球颜色相同，...。

请你帮助小猴统计 \(q\) 个问题中一共有多少个问题的结果是能够构成回文。

【输入】

第一行两个整数 \(n\)，\(q\)；

第二行一个长度为 \(n\) 的字符串 \(str\)，表示排成一排的水晶球颜色，\(str\) 只包含大写字符 \(A\sim Z\)，其中每一个字符对应一种不同的颜色。

接下来 \(q\) 行，每行两个整数 \(l_i,r_i\)，表示一个问题。

【输出】

一行一个整数，表示q个问题中一共有多少个问题的结果是能够构成回文。

【输入样例】

9 3
ABBCAAATC
1 3
2 6
37

【输出样例】

2

【核心思想】

1. 问题分析：给定长度为 \(n\) 的字符串 \(S\)（仅含大写字母），\(q\) 次询问区间 \([l_i, r_i]\) 内的字符能否重排成回文串。回文的充要条件是：每种字符出现次数均为偶数，或恰好有一种字符出现奇数次（放中间）。这是一个前缀和 + 奇偶统计问题，关键在于快速统计区间内各字符出现次数的奇偶性。

2. 算法选择：

   • 二维前缀和：cnt[i][c] 表示前 \(i\) 个字符中字母 \(c\) 的出现次数
   • 奇偶判定：区间 \([l, r]\) 内字母 \(c\) 的次数为 cnt[r][c] - cnt[l-1][c]，判断其奇偶性
   • 回文条件：区间内出现奇数次的字母种类数 \(\leq 1\)

3. 关键步骤：

   • 初始化：
     • 读取 \(n\)（字符串长度）和 \(q\)（询问次数）
     • 读取字符串 \(S\)，下标调整为从 \(1\) 开始
   • 构建二维前缀和：
     • cnt[0][c] = 0（\(0 \leq c < 26\)）
     • 遍历 \(i\) 从 \(1\) 到 \(n\)：
       • 遍历 \(c\) 从 \(0\) 到 \(25\)：
         • cnt[i][c] = cnt[i-1][c] + (S_i == c)：前 \(i\) 个字符中字母 \(c\) 的累计次数
   • 处理 \(q\) 次询问：
     • 读取区间 \([l, r]\)
     • odd = 0：统计出现奇数次的字母种类数
     • 遍历 \(c\) 从 \(0\) 到 \(25\)：
       • times = cnt[r][c] - cnt[l-1][c]：区间 \([l, r]\) 内字母 \(c\) 的出现次数
       • 若 times % 2 == 1：odd++
     • 若 odd <= 1：ans++（该区间可重排为回文）
   • 输出 ans

4. 时间/空间复杂度：

   • 时间复杂度：\(O(n \times 26 + q \times 26)\)，前缀和构建 \(O(26n)\)，每次询问 \(O(26)\)
   • 空间复杂度：\(O(n \times 26)\)，二维前缀和数组 cnt[0..n][0..25]

5. 前缀和与回文判定的核心思想：

   • 回文充要条件：字符串可重排为回文，当且仅当至多一种字符出现奇数次（长度为奇数时中间字符可出现奇数次，长度为偶数时全为偶数次）
   • 区间次数快速查询：前缀和 cnt[i][c] 存储累计次数，区间查询 cnt[r][c] - cnt[l-1][c] 实现 \(O(1)\)
   • 奇偶性分离：只需判断次数的奇偶，无需具体数值，但前缀和存储具体次数后取模同样高效
   • 离线预处理：先一次性构建所有位置的前缀和，后续每次询问 \(O(26)\) 即可回答，适合多查询场景
   • 适用于"多区间字符频率统计 + 回文判定"类问题，前缀和将重复遍历优化为常数查询

【算法标签】

前缀和

【代码详解】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int main()
{
    int n, q;
    cin >> n >> q;  // 输入字符串长度和查询次数
    string s;
    cin >> s;  // 输入字符串
    s = 'a' + s;  // 在开头添加字符，使索引从1开始

    int sum = 0;  // 满足条件的查询数量
    int lcnt[500005][26];  // 二维前缀和数组，会占用很大内存

    // 初始化第一行
    for (int j = 0; j < 26; j++)
    {
        lcnt[0][j] = 0;
    }

    // 计算前缀和
    for (int i = 1; i <= n; i++)  // 遍历每个字符
    {
        // 前i个字符中，每个字母的出现次数
        for (int j = 0; j < 26; j++)  // 遍历26个字母
        {
            lcnt[i][j] = lcnt[i - 1][j] + (s[i] - 'A' == j);
        }
    }

    while (q--)  // 处理每个查询
    {
        int l, r;
        cin >> l >> r;  // 输入查询区间

        int tong = 0;  // 奇数次出现的字母个数
        for (int i = 0; i <= 25; i++)  // 检查每个字母
        {
            // 计算区间[l,r]内字母i的出现次数
            int cnt = lcnt[r][i] - lcnt[l - 1][i];
            if (cnt % 2 == 1)  // 如果是奇数次
            {
                tong++;
            }
        }

        if (tong <= 1)  // 最多只有一个字母出现奇数次
        {
            sum++;  // 满足条件
        }
    }

    cout << sum;  // 输出满足条件的查询数量
    return 0;
}

【运行结果】

9 3
ABBCAAATC
1 3
2 6
3 7
2