题解：学而思编程 数列分段3

【题目来源】

学而思编程：数列分段3

【题目描述】

给出 \(n\) 项的数列，要求将数列划分成若干段，且每一段的平均数都不超过 \(k\)。求最多能划分成多少段？

【输入】

第 \(1\) 行，两个正整数 \(n,k\)

第 \(2\) 行，\(n\) 个正整数 \(a_1,a_2,\cdots,a_n\)

【输出】

一个整数，最多能划分成多少段。

如果不论如何划分也不能让每段平均数不超过 \(k\)，输出 \(-1\)。

【输入样例】

7 7
9 9 4 3 9 7 4

【输出样例】

3

【核心思想】

1. 问题分析：给定长度为 \(n\) 的数列 \(a_1, a_2, \ldots, a_n\)，要求将其划分为若干段，使得每段的平均数都不超过 \(k\)，求最多能划分成多少段。这是一个线性动态规划问题，关键在于将"平均数不超过 \(k\)"转化为前缀和的可比较形式，并通过枚举分割点进行状态转移。

2. 算法选择：

   • 前缀和预处理：快速计算任意区间 \([j+1, i]\) 的元素和
   • 线性 DP：dp[i] 表示前 \(i\) 个元素最多能划分成的段数
   • 条件转化：将平均数约束 \(\frac{\sum_{t=j+1}^{i} a_t}{i-j} \leq k\) 转化为 \((sa_i - sa_j) \leq k \times (i - j)\)，避免浮点运算

3. 关键步骤：

   • 初始化：
     • 读取 \(n\)（数列长度）和 \(k\)（平均数上限）
     • 读取数组 \(a[1..n]\)，计算前缀和 sa[i] = sa[i-1] + a[i]
     • memset(dp, -0x3f, sizeof(dp))：初始化为负无穷（不可达）
     • dp[0] = 0：空序列划分成 \(0\) 段
   • DP 转移（遍历 \(i\) 从 \(1\) 到 \(n\)）：
     • 遍历 \(j\) 从 \(0\) 到 \(i-1\)（枚举最后一段的起始前位置）：
       • 若 \((sa_i - sa_j) \leq k \times (i - j)\)：
         • dp[i] = \max(dp[i], dp[j] + 1)：前 \(j\) 个元素的最优段数加 \(1\)
   • 判断输出：
     • 若 dp[n] < 0：无法划分，输出 \(-1\)
     • 否则输出 dp[n]

4. 时间/空间复杂度：

   • 时间复杂度：\(O(n^2)\)，枚举分割点 \(j\) 和终点 \(i\)，共 \(O(n^2)\) 个状态
   • 空间复杂度：\(O(n)\)，DP 数组 dp[0..n] 和前缀和数组 sa[0..n]

5. 线性 DP 的核心思想：

   • 状态设计：dp[i] 表示前 \(i\) 个元素的最优解，具有明确的前缀结构，无后效性
   • 条件数学转化：将平均数约束转化为整数比较 \((sa_i - sa_j) \leq k \times (i - j)\)，避免浮点数精度问题，同时保持等价性
   • 最优子结构：前 \(i\) 个元素的最优划分必然由前 \(j\) 个元素的最优划分加上最后一段 \([j+1, i]\) 构成
   • 不可达标记：用负无穷初始化表示状态不可达，dp[0] = 0 作为递推起点，最终通过 dp[n] 的符号判断是否有解
   • 适用于"序列划分 + 段约束"的最优化问题，枚举分割点是经典 DP 策略，当约束可转化为前缀和形式时尤为有效

【解题思路】

【算法标签】

线性DP-一维

【代码详解】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 5005;

int n, k;
int a[N], sa[N];  // a: 原数组, sa: 前缀和数组
int dp[N];  // dp[i]: 前i个元素最多能分成多少段

int main()
{
    cin >> n >> k;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        cin >> a[i];
        sa[i] = sa[i - 1] + a[i];  // 计算前缀和
    }
    // 初始化dp数组为负无穷
    memset(dp, -0x3f, sizeof(dp));
    dp[0] = 0;  // 空序列有0段

    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        for (int j = 0; j < i; j++)
        {
            // 检查区间[j+1, i]是否满足条件
            if ((sa[i] - sa[j]) <= k * (i - j))
            {
                // 如果可以分割，更新dp值
                dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1);
            }
        }
    }
    // 输出结果
    if (dp[n] < 0)
    {
        cout << -1 << endl;  // 无法分割
    }
    else
    {
        cout << dp[n] << endl;  // 输出最大段数
    }
    return 0;
}

【运行结果】

7 7
9 9 4 3 9 7 4
3