题解：学而思编程 二元函数

【题目来源】

学而思编程：二元函数

【题目描述】

能用非负整数 \(a\)，\(b\) 表示为：\(X=a^3+a^2b+ab^2+b^3+a^2+ab+b^2\) 形式的整数 \(X\) 称作“特别数”。给你一个非负整数 \(n\)，求大于等于 \(n\) 的最小的“特别数”

【输入】

\(1\) 个整数 \(n\)

【输出】

大于等于 \(n\) 的最小的“特别数”

【输入样例】

9

【输出样例】

12

【核心思想】

1. 问题分析：给定非负整数 \(n\)，求满足 \(X = a^3 + a^2b + ab^2 + b^3 + a^2 + ab + b^2\)（\(a, b \geq 0\)）且 \(X \geq n\) 的最小整数 \(X\)。这是一个双指针枚举 + 单调性优化问题，关键在于利用 \(f(a, b)\) 关于 \(a\) 和 \(b\) 的单调性，避免 \(O(N^2)\) 的暴力枚举。

2. 算法选择：

   • 双指针（对向扫描）：固定 \(a\) 递增，\(b\) 递减，利用单调性保证每个 \((a, b)\) 对最多被访问一次
   • 单调性优化：\(f(a, b)\) 关于 \(a\) 和 \(b\) 均单调递增，因此当 \(a\) 增大时，满足 \(f(a, b) \geq n\) 的 \(b\) 只会减小或不变

3. 关键步骤：

   • 初始化：读取目标值 \(n\)，初始化 minn = +\infty
   • 设定枚举范围：\(a\) 从 \(0\) 到 \(10^6\)，\(b\) 初始化为 \(10^6\)
   • 双指针扫描：
     • 遍历 \(a\) 从 \(0\) 到 \(10^6\)（递增）：
       • 当 f(a, b) \geq n 且 b \geq 0 时循环：
         • minn = \min(minn, f(a, b))：更新满足条件的最小特别数
         • b--：\(b\) 递减，寻找更小的可能值
       • 此时对于当前 \(a\)，\(b\) 已减到使 \(f(a, b) < n\) 或 \(b < 0\)
     • 进入下一个 \(a\) 时，由于 \(a\) 增大，\(f(a, b)\) 增大，之前使 \(f(a, b) < n\) 的 \(b\) 可能再次满足条件，但 \(b\) 只会继续减小
   • 输出 minn

4. 时间/空间复杂度：

   • 时间复杂度：\(O(10^6)\)，\(a\) 最多遍历 \(10^6\) 次，\(b\) 总共最多递减 \(10^6\) 次，每个 \((a, b)\) 对最多被访问一次
   • 空间复杂度：\(O(1)\)，仅需常数额外空间

5. 双指针单调性优化的核心思想：

   • 单调性分析：\(f(a, b)\) 关于 \(a\) 和 \(b\) 均单调不减（各项均为非负整数的幂次和乘积），因此固定 \(a\) 时，\(f(a, b)\) 随 \(b\) 增大而增大
   • 对向扫描策略：\(a\) 从小到大递增，\(b\) 从大到小递减。对于每个 \(a\)，找到满足 \(f(a, b) \geq n\) 的最小 \(b\) 区间，然后 \(b\) 继续减小供下一个 \(a\) 使用
   • 避免重复计算：由于 \(b\) 只减不增，两个指针总共移动不超过 \(2 \times 10^6\) 步，将 \(O(N^2)\) 降为 \(O(N)\)
   • 边界处理：\(b\) 可能减到 \(0\) 以下，循环条件 b >= 0 保证合法性；minn 初始化为 LLONG_MAX 确保第一次更新有效
   • 适用于"二元函数求满足约束的最小值"问题，当函数关于两个变量均单调时，双指针可将平方级枚举优化为线性级

【解题思路】

【算法标签】

数学

【代码详解】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll n;
ll minn = 9223372036854775807;  // 2^63-1，long long的最大值

// 计算函数f(a,b)
ll f(ll a, ll b)
{
    return a*a*a + a*a*b + a*b*b + b*b*b + a*a + a*b + b*b;
}

int main()
{
    cin >> n;  // 输入目标值

    // 初始化b为最大值
    ll b = 1000000;

    // 遍历a从0到1000000
    for (ll a = 0; a <= 1000000; a++) {
        // 当f(a,b) >= n且b >= 0时，递减b
        while (f(a, b) >= n && b >= 0) {
            minn = min(minn, f(a, b));  // 更新最小值
            b--;  // 减小b
        }
    }

    cout << minn;  // 输出满足条件的最小f(a,b)
    return 0;
}

【运行结果】

9
12