题解：学而思编程 智能饭盒

【题目来源】

学而思编程：智能饭盒

【题目描述】

有 \(n\) 个食物和一个饭盒。第 \(i\) 个食物含有 \(a_i\) 克脂肪和 \(b_i\) 克蛋白质。

小猴要选择一些食物装进饭盒里，这是个智能饭盒，可以测定食物的脂肪和蛋白质含量，小猴想要选出的食物合计至少含有 \(x\) 克脂肪和 \(y\) 克蛋白质。他最少需要选择多少个食物装进饭盒？

【输入】

第 \(1\) 行，\(1\) 个正整数 \(n\)

第 \(2\) 行，\(2\) 个正整数 \(x,y\)

接下来n行，每行两个正整数\(a_i,b_i\)

【输出】

\(1\) 个整数，需要选择的最少食物数；如果无法得到要求的脂肪和蛋白质含量，输出 \(−1\)。

【输入样例】

3
5 6
2 1
3 4
2 3

【输出样例】

2

【核心思想】

1. 问题分析：给定 \(n\) 个食物，每个食物提供 \(a_i\) 克脂肪和 \(b_i\) 克蛋白质，要求选出最少数量的食物使得总脂肪至少 \(x\) 克且总蛋白质至少 \(y\) 克。这是一个二维 0-1 背包问题，关键在于将"双维度资源约束下的最少物品数"转化为 DP 状态设计。

2. 算法选择：

   • 二维 0-1 背包：将脂肪 \(j\) 和蛋白质 \(k\) 作为两个资源维度，物品数量作为待最小化的目标值
   • 反向遍历优化：两个维度均反向遍历，确保每个食物只被选取一次
   • 状态压缩：利用 max(j - a_i, 0) 和 max(k - b_i, 0) 将超过目标值的状态压缩到边界，降低状态空间

3. 关键步骤：

   • 初始化：
     • 读取 \(n\)（食物数量）、\(x\)（目标脂肪）、\(y\)（目标蛋白质）
     • 读取每个食物的 \(a_i\) 和 \(b_i\)
     • f[j][k] 表示达到至少 \(j\) 克脂肪和至少 \(k\) 克蛋白质所需的最少食物数
     • memset(f, 0x3f, sizeof f)：初始化为正无穷（不可达）
     • f[0][0] = 0：不选任何食物时，脂肪和蛋白质均为 \(0\)，需要 \(0\) 个食物
   • DP 转移（遍历 \(i\) 从 \(1\) 到 \(n\)）：
     • 遍历 \(j\) 从 \(x\) 到 \(0\)（脂肪维度反向）：
       • 遍历 \(k\) 从 \(y\) 到 \(0\)（蛋白质维度反向）：
         • f[j][k] = \min(f[j][k], f[\max(j - a_i, 0)][\max(k - b_i, 0)] + 1)
         • 不选第 \(i\) 个食物：保持 f[j][k] 不变
         • 选第 \(i\) 个食物：从"扣除该食物贡献后的状态"转移，食物数加 \(1\)
         • \max(j - a_i, 0) 和 \max(k - b_i, 0)：将超过目标的状态压缩到 \(0\)，避免数组越界并统一处理"超额满足"的情况
   • 判断输出：
     • 若 f[x][y] \geq 0x3f3f3f3f：状态不可达，输出 \(-1\)
     • 否则输出 f[x][y]

4. 时间/空间复杂度：

   • 时间复杂度：\(O(n \times x \times y)\)，\(n\) 个物品，每个物品更新 \(x \times y\) 个状态
   • 空间复杂度：\(O(x \times y)\)，二维 DP 数组 \(f[0..x][0..y]\)

5. 二维 0-1 背包的核心思想：

   • 双维度状态设计：f[j][k] 同时追踪两个资源维度（脂肪和蛋白质），将"满足双约束的最少物品数"作为优化目标
   • 反向遍历保证 0-1 性：两个维度均从大到小遍历，确保第 \(i\) 个食物的状态转移只使用第 \(i-1\) 个食物的状态，每个食物最多选一次
   • 状态压缩技巧：用 \max(j - a_i, 0) 将超过目标值的状态映射到 \(0\)，既避免数组越界，又将"超额满足"统一为"恰好满足"，简化状态空间
   • 最少物品数的转化：传统背包求最大价值，本题将"物品数量"作为 DP 值，目标资源作为状态维度，实现"逆向"背包
   • 适用于"双资源约束下最少选取物品数"的组合优化问题，状态压缩可有效降低空间复杂度

【解题思路】

【算法标签】

01背包

【代码详解】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n, x, y;
int f[305][305], a[305], b[305];

int main()
{
    cin >> n >> x >> y;  // 输入物品数量和目标值
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        cin >> a[i] >> b[i];  // 输入每个物品的属性
    }

    // 初始化DP数组为无穷大
    memset(f, 0x3f, sizeof f);
    f[0][0] = 0;  // 不需要任何物品就可以达到(0,0)

    // 动态规划
    for (int i = 1; i <= n; i++) {  // 考虑前i个物品
        for (int j = x; j >= 0; j--) {  // 反向遍历，实现0-1背包
            for (int k = y; k >= 0; k--) {
                // 状态转移：选或不选第i个物品
                f[j][k] = min(f[j][k], f[max(j - a[i], 0)][max(k - b[i], 0)] + 1);
            }
        }
    }

    // 输出结果
    if (f[x][y] >= 0x3f3f3f3f)  // 如果不可达
        cout << -1;
    else
        cout << f[x][y];

    return 0;
}

【运行结果】

3
5 6
2 1
3 4
2 3
2