题解：AcWing 1275 最大数

【题目来源】

AcWing：1275 最大数 - AcWing题库

【题目描述】

给定一个正整数数列\(a_1,a_2,...,a_n\)，每一个数都在\(0\sim p-1\)之间。可以对这列数进行两种操作：

1.添加操作：向序列后添加一个数，序列长度变成 \(n+1\)；

2.询问操作：询问这个序列中最后 \(L\) 个数中最大的数是多少。

程序运行的最开始，整数序列为空。一共要对整数序列进行\(m\)次操作。

写一个程序，读入操作的序列，并输出询问操作的答案。

【输入】

第一行有两个正整数\(m,p\)，意义如题目描述；接下来\(m\)行，每一行表示一个操作。

如果该行的内容是\(Q\ L\)，则表示这个操作是询问序列中最后 \(L\) 个数的最大数是多少；

如果是\(A\ t\)，则表示向序列后面加一个数，加入的数是\((t+a)\ mod\ p\)。其中，\(t\)是输入的参数，\(a\)是在这个添加操作之前最后一个询问操作的答案（如果之前没有询问操作，则a=0）。

第一个操作一定是添加操作。对于询问操作，\(L>0\)且不超过当前序列的长度。

【输出】

对于每一个询问操作，输出一行。该行只有一个数，即序列中最后 \(L\) 个数的最大数。

【输入样例】

【输出样例】

96
93
96

【核心思想】

问题分析：维护一个动态增长的序列，支持两种操作：在末尾添加一个数（值为 \((t + a) \bmod p\)，\(a\) 为上次询问答案），以及查询序列最后 \(L\) 个数的最大值。序列长度上限为 \(m\)，需要高效支持单点更新和区间最值查询。关键观察是：序列只增不减，可以用线段树维护，预先建树至最大长度，通过单点更新和区间查询实现 \(O(\log m)\) 操作。
算法选择：
- 线段树（Segment Tree）：完全二叉树结构，每个节点维护区间最值，支持 \(O(\log n)\) 的单点更新和区间查询
- 离线建树：预先根据最大操作次数 \(m\) 建立空树，实际使用时逐步填充
关键步骤：
- 建树 build(u, l, r)：
  - 若 \(l = r\)，叶子节点对应单个位置
  - 否则递归建立左右子树，\(mid = \lfloor \frac{l+r}{2} \rfloor\)
- 单点更新 update(u, l, r, d)：
  - 若当前节点区间完全包含目标位置，直接赋值 tr[u].v = d
  - 否则递归更新左子树或右子树
  - 回溯时 pushup：\(tr[u].v = \max(tr[u \ll 1].v, tr[u \ll 1 | 1].v)\)
- 区间查询 query(u, l, r)：
  - 若当前节点区间完全包含于查询区间，返回 tr[u].v
  - 否则递归查询左右子树，取最大值
- 处理操作：
  - A t：\(n \leftarrow n + 1\)，在位置 \(n\) 更新值为 \((last + t) \bmod p\)
  - Q L：查询区间 \([n - L + 1, n]\) 的最大值，更新 \(last\) 为查询结果
时间/空间复杂度：
- 时间复杂度：\(O(m \log m)\)，每次更新和查询均为 \(O(\log m)\)
- 空间复杂度：\(O(m)\)，线段树数组大小为 \(4m\)
线段树的核心思想：
- 分治区间维护：将序列划分为若干不相交的区间，每个节点维护一个区间的聚合信息（最值）。查询时通过 \(O(\log n)\) 个节点的信息合并得到结果
- 懒更新与即时更新：本题只需单点更新，无需懒标记（pushdown）。pushup 在子树修改后自底向上更新父节点，确保路径上所有节点信息正确
- 位运算优化子节点访问：\(u \ll 1\) 表示左子节点 \(2u\)，\(u \ll 1 | 1\) 表示右子节点 \(2u+1\)，避免乘法运算
- 预分配空间：根据最大长度 \(m\) 预先建树，避免动态扩容，实际使用时只更新已添加的位置
- 适用于动态序列的区间查询、单点/区间修改、RMQ 等场景，是树状数组和 ST 表的灵活替代方案

【算法标签】

线段树

【代码详解】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
const int N = 200005;

int m, p;
int w[N];
struct Node
{
    int l, r;
    int v;  // 区间[l, r]中的最大值
}tr[N*4];

void pushup(int u)
{
    tr[u].v = max(tr[u<<1].v, tr[u<<1|1].v);  // 求最小值
}
// void pushdown(int u)
// {
//     auto &root = tr[u], &l = tr[u<<1], &r = tr[u<<1|1];
//     l.dt += root.dt, l.mn += root.dt;
//     r.dt += root.dt, r.mn += root.dt;
//     root.dt = 0;
// }
void build(int u, int l, int r)
{
    if (l==r) tr[u] = {l, r};
    else
    {
        tr[u] = {l, r};
        int mid = l+r >> 1;
        build (u<<1, l, mid), build(u<<1|1, mid+1, r);
        pushup(u);
    }
}
void update(int u, int l, int r, int d)
{
    // cout << "u l r d " << u << " " << l << " " << r << " " << d << endl;
    if (tr[u].l>=l && tr[u].r<=r)
    {
        tr[u].v = d;
    }
    else
    {
        // pushdown(u);
        int mid = tr[u].l + tr[u].r >> 1;
        if (l<=mid) update(u<<1, l, r, d);
        if (r>mid) update(u<<1|1, l, r, d);
        pushup(u);
    }
}
int query(int u, int l, int r)
{
    if (tr[u].l>=l && tr[u].r<=r)
    {
        return tr[u].v;
    }
    else
    {
        // pushdown(u);
        int mid = tr[u].l + tr[u].r >> 1;
        int res = 0;
        if (l<=mid) res = query(u<<1, l, r);
        // cout << "res1 " << res << endl;
        if (r>mid) res = max(res, query(u<<1|1, l, r));  // 求最小值
        // cout << "res2 " << res << endl;
        return res;
    }
}

signed main()
{
    int n = 0, last = 0;
    cin >> m >> p;
    build(1, 1, m);
    int x;
    char op[2];
    while (m--)
    {
        // scanf("%s%d", op, &x);
        cin >> op >> x;
        if (op[0]=='Q')
        {
            last = query(1, n-x+1, n);
            printf("%d\n", last);
        }
        else
        {
            // cout << n+1 << " " << (last+x)%p << endl;
            update(1, n+1, n+1, (last+x)%p);
            n++;
        }
    }
    return 0;
}

【运行结果】

posted @ 2026-07-02 22:47 团爸讲算法阅读(5) 评论(0) 收藏举报

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线段树

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