题解：AcWing 790 数的三次方根

【题目来源】

AcWing：790 数的三次方根 - AcWing题库

【题目描述】

给定一个浮点数，求它的三次方根。

【输入】

共一行，包含一个浮点数。

【输出】

共一行，包含一个浮点数，表示问题的解。

注意，结果保留 位小数。

【输入样例】

1000.00

【输出样例】

10.000000

【核心思想】

1. 问题分析：给定一个浮点数 \(x\)，需要求它的三次方根，即找到实数 \(y\) 使得 \(y^3 = x\)。由于 \(f(y) = y^3\) 是严格单调递增的连续函数，因此对于任意实数 \(x\)，存在唯一的实数解 \(y\)，且满足 \(y^3 \geq x\) 的 \(y\) 集合具有单调性，适合二分查找。

2. 算法选择：

   • 浮点二分：在实数区间 \([-10000, 10000]\) 上进行二分逼近，通过控制精度终止迭代
   • 单调性判定：利用 \(y^3\) 的严格单调性，通过比较 \(mid^3\) 与 \(x\) 的大小来缩小搜索区间

3. 关键步骤：

   • 初始化边界：\(l = -10000\)，\(r = 10000\)（覆盖所有可能的三次方根范围）
   • 二分迭代：
     • 计算中点 \(mid = \frac{l + r}{2}\)
     • 若 \(mid^3 \geq x\)：\(r = mid\)（解在左半区间）
     • 否则：\(l = mid\)（解在右半区间）
     • 重复直到 \(r - l \leq 10^{-8}\)
   • 输出结果：输出 \(l\)（或 \(r\)），保留 \(6\) 位小数

4. 时间/空间复杂度：

   • 时间复杂度：\(O(\log \frac{20000}{\epsilon})\)，其中 \(\epsilon = 10^{-8}\) 为精度要求，约需 \(50\) 次迭代
   • 空间复杂度：\(O(1)\)，仅使用常数个浮点变量

5. 浮点二分的核心思想：

   • 连续函数的零点定理：单调连续函数在区间端点值异号时必存在唯一零点，二分法通过不断缩小区间来逼近该零点
   • 精度控制策略：不比较 \(mid^3 = x\)（浮点数精确相等不可靠），而是通过控制区间长度 \(r - l \leq 10^{-8}\) 来保证结果精度。由于输出保留 \(6\) 位小数，区间长度小于 \(10^{-8}\) 可确保四舍五入后的正确性
   • 对称区间设计：三次方根可能为负数，因此左右边界设为对称区间 \([-10000, 10000]\)，统一处理正负输入
   • 无精度损失更新：浮点二分中 \(l = mid\) 和 \(r = mid\) 的更新方式不会导致整数二分的边界问题，因为实数是稠密的，中点始终严格位于区间内部
   • 适用于连续单调函数的根求解、实数域上的最优化问题等数值计算场景

【解题思路】

【算法标签】

浮点二分

【代码详解】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int main() {
    double x;
    cin >> x;  // 输入要计算立方根的数值

    // 初始化二分查找的左右边界
    double l = -10000, r = 10000;

    // 当区间长度大于1e-8时继续二分
    while (r - l > 1e-8) {
        double mid = (l + r) / 2;  // 计算中点

        // 检查中点的立方是否大于等于x
        if (mid * mid * mid >= x)
            r = mid;  // 如果成立，说明解在左半区间
        else
            l = mid;  // 否则解在右半区间
    }

    // 输出结果，保留6位小数
    printf("%.6lf", l);

    return 0;
}

【运行结果】

1000.00
10.000000