题解：AcWing 787 归并排序

【题目来源】

AcWing：787 归并排序 - AcWing题库

【题目描述】

给定你一个长度为 \(n\) 的整数数列。

请你使用归并排序对这个数列按照从小到大进行排序。

并将排好序的数列按顺序输出。

【输入】

输入共两行，第一行包含整数 \(n\)。

第二行包含 \(n\) 个整数（所有整数均在 \(1\sim 10^9\) 范围内），表示整个数列。

【输出】

输出共一行，包含 \(n\) 个整数，表示排好序的数列。

【输入样例】

5
3 1 2 4 5

【输出样例】

1 2 3 4 5

【核心思想】

1. 问题分析：给定长度为 \(n\) 的整数序列，需要将其按从小到大排序。归并排序是一种基于分治思想的稳定排序算法，通过递归将序列二分，分别排序后再合并两个有序子序列。

2. 算法选择：

   • 归并排序（Merge Sort）：采用分治策略，时间复杂度稳定为 \(O(n \log n)\)
   • 双路归并：使用临时数组将两个已排序的子数组合并为一个有序数组
   • 递归分解：不断将当前区间二分，直到区间长度为 \(1\)（天然有序），再逐层合并

3. 关键步骤：

   • 递归分解：
     • 若区间长度 \(\leq 1\)（\(l \geq r\)），直接返回
     • 计算中点 \(mid = \lfloor \frac{l + r}{2} \rfloor\)
     • 递归排序左半区间 \([l, mid]\) 和右半区间 \([mid+1, r]\)
   • 合并两个有序子数组：
     • 初始化指针：\(i = l\)（左半部分），\(j = mid + 1\)（右半部分），\(k = 0\)（临时数组）
     • 当 \(i \leq mid\) 且 \(j \leq r\) 时：
       • 若 \(q[i] \leq q[j]\)，\(\text{tmp}[k++] = q[i++]\)
       • 否则 \(\text{tmp}[k++] = q[j++]\)
     • 将左半部分或右半部分的剩余元素依次放入临时数组
     • 将临时数组中的元素复制回原数组对应位置

4. 时间/空间复杂度：

   • 时间复杂度：\(O(n \log n)\)，每层递归合并 \(O(n)\)，共 \(\log n\) 层
   • 空间复杂度：\(O(n)\)，需要额外临时数组存储合并结果

5. 归并排序的核心思想：

   • 分治策略：将大问题分解为两个规模减半的子问题，递归求解后通过合并得到原问题的解。分解过程形成一棵高度为 \(\log n\) 的递归树
   • 有序子数组的线性合并：两个已排序的子数组合并时，只需双指针线性扫描，每次选择较小者放入临时数组，合并过程 \(O(n)\) 且稳定（相等元素保持原有相对顺序）
   • 稳定性保证：当 \(q[i] = q[j]\) 时优先取左半部分元素，确保相等元素的原始相对顺序不变，这是归并排序相较于快速排序的重要优势
   • 时间复杂度稳定性：无论输入数据是否有序，归并排序始终进行 \(\log n\) 层分解和每层 \(O(n)\) 的合并，最坏、平均、最好时间复杂度均为 \(O(n \log n)\)
   • 适用于需要稳定排序的场景、大规模数据排序、以及作为求解逆序对等问题的基础算法

【解题思路】

【算法标签】

归并排序

【代码详解】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 1000010;  // 定义数组最大容量

int n;         // 数组元素个数
int q[N];      // 存储待排序的数组
int tmp[N];    // 归并排序使用的临时数组

// 归并排序函数
void merge_sort(int q[], int l, int r) {
    // 递归终止条件：区间长度小于1时不需要排序
    if (l >= r) return;

    // 计算中点，分界点
    int mid = (l + r) >> 1;  // 等价于(l + r)/2

    // 递归排序左右两半
    merge_sort(q, l, mid);      // 排序左半部分
    merge_sort(q, mid + 1, r);  // 排序右半部分

    // 合并两个有序数组
    int k = 0;          // 临时数组的指针
    int i = l;          // 左半部分的指针
    int j = mid + 1;    // 右半部分的指针

    // 比较左右两部分的元素，按顺序放入临时数组
    while (i <= mid && j <= r) {
        if (q[i] <= q[j]) tmp[k++] = q[i++];  // 左边元素较小
        else tmp[k++] = q[j++];               // 右边元素较小
    }

    // 处理剩余元素（左半部分或右半部分可能还有剩余）
    while (i <= mid) tmp[k++] = q[i++];  // 左半部分剩余元素
    while (j <= r) tmp[k++] = q[j++];    // 右半部分剩余元素

    // 将临时数组中的有序元素复制回原数组
    for (i = l, j = 0; i <= r; i++, j++) {
        q[i] = tmp[j];
    }
}

int main() {
    // 输入数据
    scanf("%d", &n);  // 读取元素个数
    for (int i = 0; i < n; i++) scanf("%d", &q[i]);  // 读取数组元素

    // 调用归并排序
    merge_sort(q, 0, n - 1);

    // 输出排序结果
    for (int i = 0; i < n; i++) printf("%d ", q[i]);

    return 0;
}

【运行结果】

5
3 1 2 4 5
1 2 3 4 5