题解：AcWing 837 连通块中点的数量

【题目来源】

AcWing：837 连通块中点的数量 - AcWing题库

【题目描述】

给定一个包含 \(n\) 个点（编号为 \(1\sim n\)）的无向图，初始时图中没有边。

现在要进行 \(m\) 个操作，操作共有三种：

C a b，在点 \(a\) 和点 \(b\) 之间连一条边，\(a\) 和 \(b\) 可能相等；
Q1 a b，询问点 \(a\) 和点 \(b\) 是否在同一个连通块中，\(a\) 和 \(b\) 可能相等；
Q2 a，询问点 \(a\) 所在连通块中点的数量；

【输入】

第一行输入整数 \(n\) 和 \(m\)。

接下来 \(m\) 行，每行包含一个操作指令，指令为 C a b，Q1 a b 或 Q2 a 中的一种。

【输出】

对于每个询问指令 Q1 a b，如果 \(a\) 和 \(b\) 在同一个连通块中，则输出 Yes，否则输出 No。

对于每个询问指令 Q2 a，输出一个整数表示点 \(a\) 所在连通块中点的数量

每个结果占一行。

【输入样例】

【输出样例】

Yes
2
3

【核心思想】

问题分析：给定 \(n\) 个初始孤立节点，进行 \(m\) 次操作，包括连边、查询连通性、查询连通块大小。需要在并查集基础上额外维护每个连通块的节点数量。关键观察是：并查集的根节点可以自然作为集合的代表，将集合大小信息存储在根节点上，合并时更新即可。
算法选择：
- 并查集（Disjoint Set Union, DSU）：用父节点数组 p 维护连通性
- 按大小合并 + 路径压缩：合并时将较小集合挂到较大集合下，同时更新集合大小 siz
关键步骤：
- 初始化：\(p[i] = i\)，\(siz[i] = 1\)（每个节点自成一个大小为 \(1\) 的集合）
- 查找 find(x)：
  - 若 \(p[x] \neq x\)，\(p[x] = \text{find}(p[x])\)（路径压缩）
  - 返回 \(p[x]\)
- 合并 C a b：
  - 若 \(\text{find}(a) = \text{find}(b)\)，跳过（已在同一集合）
  - siz[find(b)] += siz[find(a)]（合并集合大小到 \(b\) 的根）
  - \(p[\text{find}(a)] = \text{find}(b)\)（将 \(a\) 的根指向 \(b\) 的根）
- 连通性查询 Q1 a b：
  - 若 \(\text{find}(a) = \text{find}(b)\)，输出 Yes，否则 No
- 大小查询 Q2 a：
  - 输出 \(siz[\text{find}(a)]\)（根节点存储的集合大小）
时间/空间复杂度：
- 时间复杂度：\(O(m \cdot \alpha(n))\)，其中 \(\alpha\) 为阿克曼函数反函数
- 空间复杂度：\(O(n)\)，父节点数组和大小数组
维护集合大小的并查集核心思想：
- 根节点存储聚合信息：集合大小 siz 只存储在根节点上，非根节点的 siz 值无意义。查询时通过 find 定位根节点再读取，确保信息始终准确
- 合并时的信息迁移：合并前先将较小集合的大小累加到较大集合的根，再修改父指针。顺序不能颠倒，否则 find(a) 的根已改变，无法正确累加
- 路径压缩的透明性：路径压缩改变树的结构但不改变根节点，因此 siz 只需存储在根上，压缩后非根节点的 siz 虽过时但不影响查询（查询时总是先 find 到根）
- 按大小合并的隐性优化：虽然代码中未显式比较大小，但将 \(a\) 挂到 \(b\) 下是一种固定策略。若采用按大小合并（小挂大），可以进一步控制树高，但路径压缩已足够保证效率
- 适用于动态连通块维护、社交网络好友圈大小统计、最小生成树 Kruskal 等场景

【算法标签】

并查集

【代码详解】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 100010;  // 定义最大节点数

int n, m;        // n: 节点数量, m: 操作次数
int p[N];        // 并查集父节点数组
int siz[N];      // 记录每个集合的大小

// 查找x的根节点（带路径压缩优化）
int find(int x)
{
    if (p[x] != x)          // 如果当前节点不是根节点
        p[x] = find(p[x]);  // 路径压缩：将父节点设为根节点
    return p[x];            // 返回根节点
}

int main()
{
    scanf("%d%d", &n, &m);  // 输入节点数和操作数

    // 初始化并查集
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        p[i] = i;      // 每个节点自成一个集合
        siz[i] = 1;    // 初始集合大小为1
    }

    while (m--)  // 处理每个操作
    {
        char op[5];  // 操作类型
        int a, b;    // 操作参数
        scanf("%s", op);

        if (op[0] == 'C')
        {
            // 合并操作：将a所在集合合并到b所在集合
            scanf("%d%d", &a, &b);
            if (find(a) == find(b))
                continue;  // 已在同一集合则跳过
            siz[find(b)] += siz[find(a)];  // 合并集合大小
            p[find(a)] = find(b);          // 将a的根节点指向b的根节点
        }
        else if (op[1] == '1')
        {
            // 查询操作：判断a和b是否在同一集合
            scanf("%d%d", &a, &b);
            if (find(a) == find(b))
                puts("Yes");
            else
                puts("No");
        }
        else
        {
            // 查询操作：返回a所在集合的大小
            scanf("%d", &a);
            printf("%d\n", siz[find(a)]);
        }
    }

    return 0;
}

【运行结果】

5 5
C 1 2
Q1 1 2
Yes
Q2 1
2
C 2 5
Q2 5
3
gu

posted @ 2026-07-02 22:46 团爸讲算法阅读(6) 评论(0) 收藏举报

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