题解：AcWing 240 食物链

【题目来源】

AcWing：240 食物链 - AcWing题库

【题目描述】

动物王国中有三类动物 $A$，$B$，$C$，这三类动物的食物链构成了有趣的环形。

$A$吃$B$，$B$吃$C$，$C$吃$A$。

现有$N$个动物，以$1\sim N$编号。

每个动物都是$A$，$B$，$C$中的一种，但是我们并不知道它到底是哪一种。

有人用两种说法对这$N$个动物所构成的食物链关系进行描述：

第一种说法是 1 X Y，表示 $X$ 和 $Y$ 是同类。

第二种说法是 2 X Y，表示 $X$ 吃 $Y$。

此人对$N$个动物，用上述两种说法，一句接一句地说出$K$句话，这$K$句话有的是真的，有的是假的。

当一句话满足下列三条之一时，这句话就是假话，否则就是真话。

当前的话与前面的某些真的话冲突，就是假话；
当前的话中$X$或$Y$比$N$大，就是假话；
当前的话表示$X$吃$X$，就是假话。

你的任务是根据给定的$N$和$K$句话，输出假话的总数。

【输入】

第一行是两个整数$N$和$K$，以一个空格分隔。

以下$K$行每行是三个正整数$D,X,Y$，两数之间用一个空格隔开，其中$D$表示说法的种类。

若$D=1$，则表示$X$和$Y$是同类。

若$D=2$，则表示$X$吃$Y$。

【输出】

只有一个整数，表示假话的数目。

【输入样例】

【输出样例】

【核心思想】

问题分析：给定 $N$ 个动物和 $K$ 条食物链关系描述，需要判断每条描述的真假。动物分为 $A, B, C$ 三类，形成环形食物链（$A$ 吃 $B$，$B$ 吃 $C$，$C$ 吃 $A$）。每条描述要么声明两个动物同类，要么声明一个吃另一个。假话判定条件包括：与前面真话冲突、编号越界、$X$ 吃 $X$。关键观察是：可以用带权并查集维护每个动物与根节点的相对关系（模 $3$ 意义下的距离）。
算法选择：
- 带权并查集（Disjoint Set Union with Weight）：用 $d[x]$ 表示 $x$ 到其父节点的距离，模 $3$ 后表示 $x$ 相对于根节点的种类（$0$：同类，$1$：被根吃，$2$：吃根）
- 路径压缩 + 距离更新：查找时递归更新每个节点到根节点的距离
关键步骤：
- 初始化：$p[i] = i$，$d[i] = 0$（每个动物自成一个集合，距离为 $0$）
- 查找 find(x)：
  - 若 $p[x] \neq x$，递归找到根 $u = \text{find}(p[x])$
  - $d[x] += d[p[x]]$（累加父节点到根的距离）
  - $p[x] = u$（路径压缩）
  - 返回 $u$
- 处理操作：
  - 假话判定：
    - 若 $x > N$ 或 $y > N$：res++
    - 若 $t = 2$ 且 $x = y$：res++（$X$ 吃 $X$）
  - 同类操作 $t = 1$（$X$ 和 $Y$ 同类）：
    - 若 $\text{find}(x) = \text{find}(y)$ 且 $(d[x] - d[y]) \bmod 3 \neq 0$：res++（在同一集合但种类不同）
    - 若不在同一集合：合并，$p[px] = py$，$d[px] = d[y] - d[x]$（使 $d[x] \equiv d[y] \pmod 3$）
  - 捕食操作 $t = 2$（$X$ 吃 $Y$）：
    - 若 $\text{find}(x) = \text{find}(y)$ 且 $(d[x] - d[y] - 1) \bmod 3 \neq 0$：`res++$（在同一集合但 $X$ 不吃 $Y$）
    - 若不在同一集合：合并，$p[px] = py$，$d[px] = d[y] + 1 - d[x]$（使 $d[x] - d[y] \equiv 1 \pmod 3$，即 $X$ 比 $Y$ 高一级）
时间/空间复杂度：
- 时间复杂度：$O(K \cdot \alpha(N))$，其中 $\alpha$ 为阿克曼函数的反函数，近似常数
- 空间复杂度：$O(N)$，并查集数组
带权并查集的核心思想：
- 相对关系编码：用 $d[x] \bmod 3$ 表示 $x$ 相对于根节点的种类：$0$ 表示同类，$1$ 表示被根吃（根吃 $x$），$2$ 表示吃根（$x$ 吃根）。这种编码天然满足环形食物链的传递性
- 路径压缩的距离累加：find 时 $d[x] += d[p[x]]$ 确保路径压缩后 $d[x]$ 仍表示 $x$ 到新根的距离，维护了权值的正确性
- 合并时的权值推导：合并两个集合时，通过代数推导确保新连接的权值满足给定的关系约束。例如同类操作要求 $d[x] \equiv d[y] \pmod 3$，因此 $d[px] = d[y] - d[x]$
- 模运算的一致性：所有距离关系在模 $3$ 意义下成立，利用 $(a - b) \bmod 3$ 判断两个节点是否同类、捕食或被捕食关系
- 适用于带相对关系的动态连通性问题、种类并查集、模意义下的等价类维护等场景

【解题思路】

【算法标签】

并查集

【代码详解】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 50010;  // 定义最大节点数

int n, m;      // n: 节点数量, m: 操作次数
int p[N];      // 并查集父节点数组
int d[N];      // 存储节点到父节点的距离（带权）

// 查找x的根节点（带路径压缩和距离更新）
int find(int x)
{
    if (p[x] != x)
    {
        int u = find(p[x]);  // 递归找到根节点
        d[x] += d[p[x]];     // 更新当前节点到根节点的距离
        p[x] = u;            // 路径压缩
    }
    return p[x];
}

int main()
{
    scanf("%d%d", &n, &m);  // 输入节点数和操作数

    // 初始化并查集
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        p[i] = i;

    int res = 0;  // 记录假话数量

    while (m--)   // 处理每个操作
    {
        int t, x, y;
        scanf("%d%d%d", &t, &x, &y);

        // 检查节点编号是否合法
        if (x > n || y > n)
        {
            res++;  // 节点编号越界即为假话
        }
        else
        {
            int px = find(x), py = find(y);

            if (t == 1)  // 操作1：x和y是同类
            {
                // 如果已在同一集合但距离差不是3的倍数（不是同类）
                if (px == py && (d[x] - d[y]) % 3)
                    res++;
                else if (px != py)  // 不同集合则合并
                {
                    p[px] = py;
                    d[px] = d[y] - d[x];  // 维护距离关系
                }
            }
            else  // 操作2：x吃y
            {
                // 如果已在同一集合但距离差不满足x吃y的关系
                if (px == py && (d[x] - d[y] - 1) % 3)
                    res++;
                else if (px != py)  // 不同集合则合并
                {
                    p[px] = py;
                    d[px] = d[y] + 1 - d[x];  // 维护距离关系
                }
            }
        }
    }

    printf("%d\n", res);  // 输出假话总数
    return 0;
}

【运行结果】

posted @ 2026-07-02 22:46 团爸讲算法阅读(7) 评论(0) 收藏举报

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题解：AcWing 240 食物链

并查集

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