题解：AcWing 830 单调栈

【题目来源】

AcWing：830 单调栈 - AcWing题库

【题目描述】

给定一个长度为 \(N\) 的整数数列，输出每个数左边第一个比它小的数，如果不存在则输出 -1。

【输入】

第一行包含整数 \(N\)，表示数列长度。

第二行包含 N 个整数，表示整数数列。

【输出】

共一行，包含 \(N\) 个整数，其中第 \(i\) 个数表示第 \(i\) 个数的左边第一个比它小的数，如果不存在则输出 \(-1\)。

【输入样例】

5
3 4 2 7 5

【输出样例】

-1 3 -1 2 2

【核心思想】

1. 问题分析：给定长度为 \(N\) 的整数数列，对每个元素 \(a_i\)，需要找到其左边第一个比它小的元素。若对每个元素向左暴力扫描，时间复杂度为 \(O(N^2)\)。关键观察是：若 \(a_j \geq a_i\) 且 \(j < i\)，则 \(a_j\) 不可能是 \(i\) 右侧任何元素的"左边第一个更小值"（因为 \(a_i\) 更近且更小），因此可以维护一个单调递增的候选集合。

2. 算法选择：

   • 单调栈：维护一个从栈底到栈顶单调递增的元素（或下标）序列，栈顶即为当前元素的左边第一个更小值

3. 关键步骤：

   • 初始化：空栈，栈顶指针 \(tt = 0\)
   • 遍历每个元素 \(a_i\)（\(i\) 从 \(1\) 到 \(N\)）：
     • 弹出大于等于当前元素的栈顶：while (tt && a[stk[tt]] >= a[i]) tt--
       • 这些元素由于值更大且位置更靠左，不可能是后续任何元素的左边第一个更小值
     • 获取答案：若栈非空，ans[i] = a[stk[tt]]（栈顶即为左边第一个更小值）；否则 ans[i] = -1
     • 当前元素入栈：stk[++tt] = i（将当前下标压入栈，成为后续元素的候选）

4. 时间/空间复杂度：

   • 时间复杂度：\(O(N)\)，每个元素最多入栈出栈各一次
   • 空间复杂度：\(O(N)\)，栈数组

5. 单调栈的核心思想：

   • 淘汰不可能最优的元素：新元素 \(a_i\) 入栈时，所有大于等于它的栈顶元素被弹出。这些被弹出的元素值更大且位置更靠左，对于 \(a_i\) 右侧的任何元素，若它们能成为答案，则 \(a_i\) 更近且更小，因此弹出元素永无用处
   • 栈顶即答案：由于栈单调递增，栈顶是离当前元素最近且小于它的元素（中间所有大于等于它的元素已被弹出），满足"第一个"和"更小"两个条件
   • 均摊线性：每个元素最多被访问两次（入栈一次、出栈一次），因此总时间复杂度为 \(O(N)\)
   • 下标存储策略：存储下标而非值，可以同时获取元素值和位置信息，便于处理需要位置信息的扩展问题
   • 适用于"左边/右边第一个更大/更小元素"类问题、直方图最大矩形、接雨水等经典场景

【解题思路】

【算法标签】

单调栈

【代码详解】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 100010;  // 定义数组最大长度

int n;          // 输入数字的个数
int stk[N], tt;  // stk: 模拟栈的数组, tt: 栈顶指针

int main()
{
    cin >> n;  // 输入数字个数

    for (int i = 0; i < n; i++)
    {
        int x;
        cin >> x;  // 输入当前数字

        // 维护单调递增栈：弹出所有大于等于当前元素的栈顶元素
        while (tt && stk[tt] >= x)
            tt--;

        // 如果栈不为空，输出栈顶元素（即左边第一个比x小的数）
        if (tt)
            cout << stk[tt] << " ";
        else
            cout << -1 << " ";  // 栈为空输出-1

        // 将当前元素压入栈
        stk[++tt] = x;
    }

    return 0;
}

// 通过洛谷题目，修正模板
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 100005;  // 定义数组最大长度

int n;          // 元素个数
int a[N];       // 存储输入数组
int ans[N];     // 存储结果数组
int stk[N];     // 单调栈（存储下标）
int tt;         // 栈顶指针

int main()
{
    cin >> n;  // 输入元素个数

    // 输入数组元素
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        cin >> a[i];

    // 使用单调栈处理每个元素
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        // 维护单调递增栈：弹出所有大于等于当前元素的栈顶元素
        while (tt && a[stk[tt]] >= a[i])
            tt--;

        // 如果栈不为空，当前元素左边第一个比它小的元素就是栈顶元素
        if (tt)
            ans[i] = a[stk[tt]];
        else
            ans[i] = -1;  // 栈为空表示左边没有更小的元素

        // 将当前元素的下标压入栈
        stk[++tt] = i;
    }

    // 输出结果
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        cout << ans[i] << " ";
    cout << endl;

    return 0;
}

【运行结果】

5
3 4 2 7 5
-1 3 -1 2 2