题解：AcWing 836 合并集合

【题目来源】

AcWing：836 合并集合 - AcWing题库

【题目描述】

一共有 \(n\) 个数，编号是 \(1\sim n\)，最开始每个数各自在一个集合中。

现在要进行 \(m\) 个操作，操作共有两种：

1. M a b，将编号为 \(a\) 和 \(b\) 的两个数所在的集合合并，如果两个数已经在同一个集合中，则忽略这个操作；
2. Q a b，询问编号为 \(a\) 和 \(b\) 的两个数是否在同一个集合中；

【输入】

第一行输入整数 \(n\) 和 \(m\)。

接下来 \(m\) 行，每行包含一个操作指令，指令为 M a b 或 Q a b 中的一种。

【输出】

对于每个询问指令 Q a b，都要输出一个结果，如果 \(a\) 和 \(b\) 在同一集合内，则输出 Yes，否则输出 No。

每个结果占一行。

【输入样例】

4 5
M 1 2
M 3 4
Q 1 2
Q 1 3
Q 3 4

【输出样例】

Yes
No
Yes

【核心思想】

1. 问题分析：给定 \(n\) 个初始各自独立的元素，进行 \(m\) 次合并或查询操作。需要高效判断两个元素是否属于同一集合，以及合并两个集合。关键观察是：用树形结构表示集合，每个集合选一个代表元（根节点），通过路径压缩和按秩合并优化查找和合并操作。

2. 算法选择：

   • 并查集（Disjoint Set Union, DSU）：用父节点数组 p 维护每个元素所在集合，支持 \(O(\alpha(n))\) 的查找和合并
   • 路径压缩：查找时将访问过的所有节点直接连接到根节点，扁平化树结构

3. 关键步骤：

   • 初始化：\(p[i] = i\)（每个元素自成一个集合，自己是自己的父节点）
   • 查找 find(x)：
     • 若 \(p[x] = x\)，返回 \(x\)（\(x\) 是根节点）
     • 否则 \(p[x] = \text{find}(p[x])\)（递归查找根节点，同时路径压缩）
     • 返回 \(p[x]\)
   • 合并 M a b：
     • \(p[\text{find}(a)] = \text{find}(b)\)（将 \(a\) 所在集合的根节点指向 \(b\) 所在集合的根节点）
   • 查询 Q a b：
     • 若 \(\text{find}(a) = \text{find}(b)\)，输出 Yes，否则输出 No

4. 时间/空间复杂度：

   • 时间复杂度：\(O(m \cdot \alpha(n))\)，其中 \(\alpha\) 为阿克曼函数的反函数，增长极慢，实际可视为常数
   • 空间复杂度：\(O(n)\)，父节点数组

5. 并查集的核心思想：

   • 代表元思想：每个集合用一个根节点作为代表，所有元素通过父节点链连接到根。判断两个元素是否同集合只需比较它们的根节点
   • 路径压缩优化：查找过程中将访问路径上的所有节点直接挂到根节点下，使得后续对这些节点的查找变为 \(O(1)\)。这是一种均摊优化，不改变树的结构逻辑但大幅提升实际效率
   • 合并的简洁性：合并只需修改一个指针（根节点的父节点），无需遍历整个集合。配合路径压缩，树的深度始终保持在极小范围
   • 近乎常数的复杂度：阿克曼函数反函数 \(\alpha(n)\) 在 \(n < 10^{600}\) 时不超过 \(4\)，因此并查集的操作可视为 \(O(1)\)，是处理动态连通性问题的最优数据结构
   • 适用于动态连通性判断、最小生成树（Kruskal）、连通分量计数、等价类划分等场景

【解题思路】

【算法标签】

并查集

【代码详解】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 100010;  // 定义最大节点数

int n, m;    // n: 节点数量, m: 操作次数
int p[N];    // 并查集父节点数组

// 查找x的根节点（带路径压缩优化）
int find(int x)
{
    if (p[x] != x)          // 如果当前节点不是根节点
        p[x] = find(p[x]);  // 路径压缩：将父节点设为根节点
    return p[x];            // 返回根节点
}

int main()
{
    scanf("%d%d", &n, &m);  // 输入节点数和操作数

    // 初始化并查集，每个节点自成一个集合
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        p[i] = i;

    while (m--)  // 处理每个操作
    {
        char op[2];  // 操作类型
        int a, b;    // 操作参数
        scanf("%s%d%d", op, &a, &b);

        if (op[0] == 'M')
        {
            // 合并操作：将a所在集合合并到b所在集合
            p[find(a)] = find(b);
        }
        else
        {
            // 查询操作：判断a和b是否在同一集合
            if (find(a) == find(b))
                puts("Yes");
            else
                puts("No");
        }
    }

    return 0;
}

【运行结果】

4 5
M 1 2
M 3 4
Q 1 2
Yes
Q 1 3
No
Q 3 4
Yes