题解：学而思编程 国庆旅行

【题目来源】

学而思编程：国庆旅行

【题目描述】

小猴国庆节来北京玩，北京有 \(n\) 个景点，第 \(i\) 个景点的评分用 \(a_i\) 表示，两个景点 \(i\)，\(j\) 之间的距离为 \(j-i(j>i)\)。

小猴一天只能游玩两个景点，我们认为总评分是两个景点的评分之和减去两个景点之间的距离，即为 \(a[i]+a[j]-(j-i)\) 其中 \(i<j\)。

那么小猴选择哪两个景点才会总评分最大呢？

【输入】

第一行包含整数 \(n\)；

第二行分别输入 \(n\) 个景点的评分 \(a_1,a_2,\dots, a_n\)。

【输出】

一行，一个整数，表示输出最大评分。

【输入样例】

5
11 6 5 18 12

【输出样例】

29

【核心思想】

1. 问题分析：给定 \(n\) 个景点的评分 \(a_i\)，需要选择两个景点 \(i < j\)，使得总评分 \(a_i + a_j - (j - i)\) 最大。将表达式变形：\(a_i + a_j - j + i = (a_i + i) + (a_j - j)\)。关键观察是：对于固定的 \(j\)，需要找到 \(i < j\) 使得 \(a_i + i\) 最大。因此可以预处理前缀最大值或后缀最大值来优化。

2. 算法选择：

   • 后缀最大值预处理：定义 \(s[i] = \max_{k \geq i} (a_k - k)\)，则从右往左递推计算
   • 线性扫描求答案：枚举左端点 \(i\)，利用后缀最大值数组 \(O(1)\) 获取最优右端点

3. 关键步骤：

   • 读取输入：\(n\) 和数组 \(a[1..n]\)
   • 后缀最大值预处理：
     • \(s[n+1] = -\infty\)（哨兵值）
     • 对 \(i\) 从 \(n\) 到 \(1\)：\(s[i] = \max(s[i+1], a[i] - i)\)
     • \(s[i]\) 表示从位置 \(i\) 到 \(n\) 中，\(a_k - k\) 的最大值
   • 计算最大评分：
     • 初始化 \(\text{ans} = -\infty\)
     • 对 \(i\) 从 \(1\) 到 \(n-1\)：\(\text{ans} = \max(\text{ans}, a[i] + i + s[i+1])\)
     • 其中 \(a[i] + i\) 是固定左端点 \(i\) 的贡献，\(s[i+1]\) 是右端点 \(j > i\) 的最优贡献
   • 输出答案：\(\text{ans}\)

4. 时间/空间复杂度：

   • 时间复杂度：\(O(n)\)，后缀预处理 \(O(n)\)，扫描求答案 \(O(n)\)
   • 空间复杂度：\(O(n)\)，存储原数组和后缀最大值数组

5. 后缀最大值预处理的核心思想：

   • 表达式拆分：将原式 \(a_i + a_j - (j - i)\) 拆分为 \((a_i + i) + (a_j - j)\)，使左右两端点独立，分别只与自身下标相关
   • 后缀数组优化：\(s[i]\) 预处理了从位置 \(i\) 开始的所有 \(a_k - k\) 的最大值，使得枚举左端点时，右端点的最优值可以 \(O(1)\) 获取
   • 递推构建：\(s[i] = \max(s[i+1], a[i] - i)\) 从右往左递推，每个位置只需比较当前值与已计算的后缀值，体现了动态规划的最优子结构
   • 哨兵处理：\(s[n+1] = -\infty\) 确保边界安全，使得 \(i = n\) 时的 \(s[i+1]\) 有定义（虽然实际不会用到）
   • 适用于双变量优化问题中，通过代数变形将耦合项分离，再利用前缀/后缀最值实现线性时间求解

【解题思路】

【算法标签】

前缀和

【代码详解】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int a[100010], s[100010];  // a: 原始数组, s: 后缀最大值数组
int main()
{
    int n;
    cin >> n;  // 输入数组长度

    for (int i = 1; i <= n; i++)  // 输入数组元素
    {
        cin >> a[i];
    }

    // 初始化边界
    s[n + 1] = -1e9;  // 哨兵值

    // 计算后缀最大值 s[i] = max(a[i]-i, a[i+1]-(i+1), ..., a[n]-n)
    for (int i = n; i >= 1; i--)
    {
        s[i] = max(s[i + 1], a[i] - i);
    }

    int maxn = -1e9;  // 初始化答案

    // 计算最大值：a[i] + i + s[i+1]
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        maxn = max(maxn, a[i] + i + s[i + 1]);
    }

    cout << maxn;  // 输出结果
    return 0;
}

【运行结果】

5
11 6 5 18 12
29