题解：学而思编程素数加法算式

【题目来源】

学而思编程：素数加法算式

【题目描述】

有一个只含数字 \(1\sim 9\) 的字符串 \(s\)，现在要求在字符中插入若干加号，使得字符串成为一个加法算式。（也可以一个都不加）

得到的加法算式的计算结果是素数的算式有多少种？

【输入】

\(1\) 行，\(1\) 个字符串 \(s\)

【输出】

输出结果是素数的算式个数

【输入样例】

【输出样例】

【核心思想】

问题分析：给定只含数字 \(1 \sim 9\) 的字符串 \(s\)，需要在字符之间插入若干加号（也可不插），使其成为一个加法算式，统计计算结果为素数的算式个数。例如 124 可分割为 1+2+4=7、12+4=16、1+24=25、124=124，其中只有 7 是素数，故答案为 \(1\)。关键观察是：\(n\) 个字符之间有 \(n-1\) 个可分割位置，每个位置有"分割"或"不分割"两种选择，共 \(2^{n-1}\) 种方案，适合用 DFS 枚举。
算法选择：
- 深度优先搜索（DFS）：枚举每个可分割位置的两种状态（分割/不分割），生成所有可能的加法算式
- 试除法判定素数：对每个算式的结果，用 \(O(\sqrt{x})\) 的试除法判断是否为素数
关键步骤：
- 初始化：读入字符串 \(s\)，长度 \(n = |s|\)，设置 \(c[n] = 1\)（最后一个位置强制分割，确保最后一段数字被计入总和）
- DFS 枚举（dfs(p)，\(p\) 为当前处理的分割位置）：
  - 若 \(p > n - 1\)：所有位置已处理完毕，计算当前方案的总和：
    - 遍历字符串，根据 \(c[i]\) 的值决定分割或拼接数字
    - 若 isp(sum) 为真，cnt++
    - 返回
  - \(c[p] = 0\)，递归 dfs(p + 1)（不分割）
  - \(c[p] = 1\)，递归 dfs(p + 1)（分割）
- 素数判定 isp(x)：
  - 若 \(x < 2\)，返回 false
  - 遍历 \(i\) 从 \(2\) 到 \(\lfloor \sqrt{x} \rfloor\)：若 \(x \bmod i = 0\)，返回 false
  - 返回 true
- 输出答案：\(cnt\)
时间/空间复杂度：
- 时间复杂度：\(O(2^{n-1} \cdot n \cdot \sqrt{S})\)，其中 \(S\) 为算式结果的最大值。\(2^{n-1}\) 种方案，每种方案计算总和 \(O(n)\)，素数判定 \(O(\sqrt{S})\)
- 空间复杂度：\(O(n)\)，递归栈深度和分割状态数组
DFS 枚举与剪枝的核心思想：
- 二进制状态枚举：\(n-1\) 个分割位置对应 \(n-1\) 个二进制位，DFS 本质是枚举所有 \(2^{n-1}\) 种二进制状态，每种状态对应一种唯一的分割方案
- 强制边界分割：设置 \(c[n] = 1\) 确保字符串末尾必然形成一个完整的加数，避免最后一段数字被遗漏，简化了总和计算的逻辑
- 延迟计算策略：不在 DFS 过程中实时维护当前总和，而是在叶子节点（所有位置确定后）统一计算，降低了状态维护的复杂度
- 试除法的适用性：由于字符串只含 \(1 \sim 9\) 且长度通常较小（\(n \leq 10\) 左右），算式结果不会太大，试除法足够高效
- 适用于组合枚举、字符串分割、表达式生成等场景，是 DFS 在组合计数问题中的典型应用

【解题思路】

【算法标签】

DFS-一维

【代码详解】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MR = 1e6 + 10;
typedef long long LL;
string s;
int n;
bool isp(long long x)
{
    if (x < 2) return false;  // 小于2的不是素数
    for (int i = 2; i * i <= x; i++) {  // 试除法判断素数
        if (x % i == 0) return false;
    }
    return true;
}
int c[11], cnt;  // c数组记录是否分割，cnt记录方案数

void dfs(int p)  // 递归枚举所有分割方案
{
    if (p > n - 1) {  // 已经处理完所有分割位置
        long long sum = 0, t = (s[0] - '0');  // sum为总和，t为当前数字
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            if (c[i] == 0) {  // 不分割，继续组成数字
                t = t * 10 + (s[i] - '0');
            } else {  // 分割，将当前数字加入总和
                sum += t;
                t = (s[i] - '0');  // 开始新的数字
            }
        }
        if (isp(sum)) cnt++;  // 判断总和是否为素数
        return;
    }
    c[p] = 0;  // 在第p个位置不分割
    dfs(p + 1);
    c[p] = 1;  // 在第p个位置分割
    dfs(p + 1);
}

int main()
{
    cin >> s;  // 输入数字字符串
    n = s.size();  // 获取长度
    c[n] = 1;  // 最后一个位置强制分割，确保最后一段数字被加入总和
    dfs(1);  // 从第一个分割位置开始枚举
    cout << cnt << endl;
    return 0;
}

【运行结果】

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posted @ 2026-07-02 22:45 团爸讲算法阅读(4) 评论(0) 收藏举报

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