题解：学而思编程 买整数

【题目来源】

学而思编程：买整数

【题目描述】

小猴去一个整数商店买一个整数。

整数商店出售范围在 \(1 \sim 10^9\) 的所有整数，整数 \(n\) 的售价是 \(a \times n+b \times d(n)\) 元，其中 \(d(n)\) 是 \(n\) 的十进制表示的位数。

例如 \(a=10,b=7\) 时，以下 \(3\) 个整数的价格是：

\(10\)：\(10 \times 10 + 7 \times 2 = 114\)

\(100\)：\(10 \times 100 + 7 \times 3 = 102\)

\(12345\)：\(10 \times 12345 + 7 \times 5 = 123485\)

小猴只带了 \(x\) 元钱，求出他能买到的最大整数，如果一个整数都买不起，输出 \(0\)。

【输入】

\(1\) 行，\(3\) 个正整数 \(a,b,x\)。

【输出】

\(1\) 个整数，输出小猴能买到的最大整数，如果一个整数都买不起，输出 \(0\)。

【输入样例】

10 7 100

【输出样例】

9

【核心思想】

1. 问题分析：给定参数 \(a, b\) 和预算 \(x\)，整数 \(n\) 的售价为 \(a \times n + b \times d(n)\)，其中 \(d(n)\) 是 \(n\) 的十进制位数。需要在 \([1, 10^9]\) 范围内找到售价不超过 \(x\) 的最大整数 \(n\)。关键观察是：售价随 \(n\) 增大而单调不减（\(a \times n\) 严格递增，\(b \times d(n)\) 阶梯递增），因此满足条件的 \(n\) 构成一个前缀区间，具有单调性。

2. 算法选择：

   • 整数二分：利用售价的单调性，在 \([0, 10^9]\) 上二分查找满足条件的最大 \(n\)
   • 位数计算：通过取模和整除操作计算 \(n\) 的十进制位数 \(d(n)\)

3. 关键步骤：

   • 判定函数 check(n)：
     • 计算 \(d(n)\)：通过不断 \(n \leftarrow \lfloor n / 10 \rfloor\) 直至 \(n = 0\)，统计除法次数
     • 计算售价：\(price = a \times n + b \times d(n)\)
     • 返回 \(price \leq x\)
   • 二分查找：
     • 范围 \([0, 10^9]\)，取上中点 \(mid = \lfloor \frac{l + r + 1}{2} \rfloor\)
     • 若 check(mid) 为真：\(l = mid\)（尝试更大的 \(n\)）
     • 否则：\(r = mid - 1\)（缩小范围）
   • 输出答案：\(l\)（最大满足条件的整数，若 \(l = 0\) 表示买不起任何整数）

4. 时间/空间复杂度：

   • 时间复杂度：\(O(\log(10^9) \times \log_{10} n) = O(30 \times 10) = O(1)\)，二分约 \(30\) 次，每次计算位数 \(O(\log_{10} n)\)
   • 空间复杂度：\(O(1)\)，仅使用常数个变量

5. 整数二分的核心思想：

   • 单调性利用：售价函数 \(f(n) = a \times n + b \times d(n)\) 随 \(n\) 单调不减，因此"售价 \(\leq x\)"的集合是 \([0, n_{max}]\) 形式的前缀，适合二分查找右边界
   • 上中点取整：使用 \((l + r + 1) / 2\) 取上中点，配合 \(l = mid\) 和 \(r = mid - 1\) 的更新方式，确保二分能够收敛到最大满足值而非最小满足值
   • 位数计算的简洁性：通过反复除以 \(10\) 统计位数，避免了将数字转为字符串的开销，同时适用于高精度场景
   • 边界处理：左边界设为 \(0\) 而非 \(1\)，统一处理"买不起任何整数"的情况（输出 \(0\)），无需额外特判
   • 适用于单调性条件下的最优值搜索、预算约束下的最大化选择等场景

【解题思路】

【算法标签】

整数二分

【代码详解】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long

int a, b, k;

// 检查数字x是否满足条件
bool check(int x)
{
    int t = x;  // 保存原始数字
    int len = 0;  // 计算数字x的位数
    while (x)
    {
        len++;
        x /= 10;
    }

    // 检查 a*x + b*位数 是否不超过k
    return (a * t + b * len) <= k;
}

signed main()
{
    cin >> a >> b >> k;
    int l = 0, r = 1e9;  // 二分查找范围
    while (l < r)
    {
        int mid = (l + r + 1) / 2;
        if (check(mid))
        {
            l = mid;  // 满足条件，尝试更大的数
        }
        else
        {
            r = mid - 1;  // 不满足条件，减小范围
        }
    }
    cout << l << endl;
    return 0;
}

【运行结果】

10 7 100
9