题解：洛谷 P3865 ST表 & RMQ问题

【题目来源】

洛谷：P3865 【模板】ST 表 & RMQ 问题 - 洛谷

【题目描述】

给定一个长度为 \(N\) 的数列，和 \(M\) 次询问，求出每一次询问的区间内数字的最大值。

【输入】

第一行包含两个整数 \(N,M\)，分别表示数列的长度和询问的个数。

第二行包含 \(N\) 个整数（记为 \(a_i\)），依次表示数列的第 \(i\) 项。

接下来 \(M\) 行，每行包含两个整数 \(l_i,r_i\)，表示查询的区间为$ [l_i,r_i]$。

【输出】

输出包含 \(M\) 行，每行一个整数，依次表示每一次询问的结果。

【输入样例】

8 8
9 3 1 7 5 6 0 8
1 6
1 5
2 7
2 6
1 8
4 8
3 7
1 8

【输出样例】

9
9
7
7
9
8
7
9

【核心思想】

1. 问题分析：给定长度为 \(N\) 的静态数组和 \(M\) 个区间最值查询（RMQ），需要快速回答每个区间 \([l, r]\) 的最大值。若对每个查询暴力扫描，时间复杂度为 \(O(M \cdot N)\)。关键观察是：区间最值具有可重叠性——两个覆盖查询区间的子区间的最值可以合并得到整体最值，因此可以通过预处理实现 \(O(1)\) 查询。

2. 算法选择：

   • ST 表（Sparse Table）：一种基于倍增思想的静态区间最值查询数据结构，预处理 \(O(N \log N)\)，查询 \(O(1)\)
   • 区间分解：将任意区间 \([l, r]\) 分解为两个长度为 \(2^k\) 的重叠子区间，分别取最值后再合并

3. 关键步骤：

   • 预处理 ST 表：
     • 初始化：\(f[i][0] = a_i\)（长度为 \(2^0 = 1\) 的区间最值即自身）
     • 对 \(j\) 从 \(1\) 到 \(\lfloor \log_2 N \rfloor\)：
       • 对 \(i\) 从 \(1\) 到 \(N - 2^j + 1\)：
         • \(f[i][j] = \max(f[i][j-1], f[i + 2^{j-1}][j-1])\)
         • 含义：区间 \([i, i+2^j-1]\) 的最值 = 左半区间 \([i, i+2^{j-1}-1]\) 与右半区间 \([i+2^{j-1}, i+2^j-1]\) 的最值之较大者
   • 回答查询 \([l, r]\)：
     • 计算 \(k = \lfloor \log_2(r - l + 1) \rfloor\)
     • 答案 = \(\max(f[l][k], f[r - 2^k + 1][k])\)
     • 两个子区间分别为 \([l, l+2^k-1]\) 和 \([r-2^k+1, r]\)，它们重叠但共同覆盖 \([l, r]\)

4. 时间/空间复杂度：

   • 时间复杂度：\(O(N \log N + M)\)，预处理 \(O(N \log N)\)，每次查询 \(O(1)\)
   • 空间复杂度：\(O(N \log N)\)，存储 ST 表 \(f[N][\log N]\)

5. ST 表的核心思想：

   • 倍增预处理：通过 \(f[i][j]\) 表示从 \(i\) 开始长度为 \(2^j\) 的区间最值，利用递推式将大问题分解为两个已解决的子问题，体现了动态规划的最优子结构
   • 可重叠性利用：最值查询允许区间重叠，即 \(\max([l, r]) = \max(\max([l, l+2^k-1]), \max([r-2^k+1, r]))\)。两个长度为 \(2^k\) 的区间覆盖 \([l, r]\) 且可能重叠，但由于最值运算的幂等性（\(\max(a, a) = a\)），重叠不影响结果
   • 对数分块：通过 \(\log_2\) 将任意区间长度映射到最大的 \(2\) 的幂次，使得任意区间都能被两个等长的幂次长度区间覆盖
   • 静态数据结构：ST 表适用于数组不修改、只查询的场景。若需要修改，需改用线段树等动态数据结构
   • 适用于静态 RMQ 问题、区间最值/最小值查询、LCP（最长公共前缀）等场景，是倍增思想在数据结构中的经典应用

【算法标签】

普及 #ST表

【代码详解】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int MAX_N = 100005;  // 定义数组最大长度
const int MAX_LOG = 22;    // 最大对数级别
int n, m;                  // n: 数组长度, m: 查询次数
int f[MAX_N][MAX_LOG];     // ST表，f[i][j]表示区间[i,i+2^j-1]的最大值

int main()
{
    // 输入数组长度和查询次数
    cin >> n >> m;

    // 输入原始数组数据
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        scanf("%d", &f[i][0]);  // 初始化ST表第一层

    // 预处理ST表
    for (int j = 1; j <= 20; j++)          // 枚举区间长度（2^j）
    {
        for (int i = 1; i + (1 << j) - 1 <= n; i++)  // 枚举区间起点
        {
            // 状态转移：合并左右两个子区间
            f[i][j] = max(f[i][j - 1], f[i + (1 << (j - 1))][j - 1]);
        }
    }

    // 处理查询
    for (int i = 1; i <= m; i++)
    {
        int l, r;
        scanf("%d%d", &l, &r);  // 输入查询区间

        // 计算区间长度的对数
        int k = log2(r - l + 1);

        // 查询区间最大值：取两个覆盖区间的最大值
        printf("%d\n", max(f[l][k], f[r - (1 << k) + 1][k]));
    }

    return 0;
}

【运行结果】

8 8
9 3 1 7 5 6 0 8
1 6
9
1 5
9
2 7
7
2 6
7
1 8
9
4 8
8
3 7
7
1 8
9