题解：洛谷 P15798 有限不循环小数

【题目来源】

洛谷：P15798 [GESP202603 五级] 有限不循环小数 - 洛谷

【题目描述】

若 \(\frac{1}{a}\) 可化为一个有限的，不循环的小数，则称 \(a\) 为终止数。

请你求出在 \(L\) 到 \(R\) 中终止数的数量。

【输入】

输入一行，包含两个整数 \(L,R\)。

【输出】

输出一行，包含一个整数，表示 \(L\) 到 \(R\) 中终止数的数量。

【输入样例】

2 11

【输出样例】

5

【核心思想】

1. 问题分析：给定区间 \([L, R]\)，需要统计其中"终止数"的个数。终止数的定义是：\(\frac{1}{a}\) 可化为有限不循环小数。根据数论知识，一个分数 \(\frac{1}{a}\) 能表示为有限小数，当且仅当分母 \(a\) 的质因数分解中只包含质因子 \(2\) 和 \(5\)（即 \(a = 2^x \times 5^y\)，其中 \(x, y \geq 0\)）。

2. 算法选择：

   • 质因子分解判定：对每个数 \(a\)，不断除以 \(2\) 和 \(5\)，若最终结果为 \(1\)，则 \(a\) 是终止数
   • 区间枚举：遍历 \([L, R]\) 中的每个整数，调用判定函数筛选

3. 关键步骤：

   • 判定函数 check(x)：
     • 当 \(x \bmod 2 = 0\) 时，\(x \leftarrow x / 2\)（去除所有因子 \(2\)）
     • 当 \(x \bmod 5 = 0\) 时，\(x \leftarrow x / 5\)（去除所有因子 \(5\)）
     • 返回 \(x = 1\)（若剩余为 \(1\) 说明仅含因子 \(2\) 和 \(5\)）
   • 主流程：
     • 读入 \(L\)、\(R\)
     • 遍历 \(i\) 从 \(L\) 到 \(R\)：若 check(i) 为真，则 ans++
     • 输出 \(ans\)

4. 时间/空间复杂度：

   • 时间复杂度：\(O((R - L + 1) \cdot (\log_2 R + \log_5 R))\)，每个数最多被 \(2\) 和 \(5\) 除对数次
   • 空间复杂度：\(O(1)\)，仅使用常数个变量

5. 有限小数判定定理的核心思想：

   • 分母决定小数性质：分数 \(\frac{p}{q}\)（最简形式）能化为有限小数，当且仅当分母 \(q\) 的质因数只含 \(2\) 和 \(5\)。这是因为十进制有限小数的分母必为 \(10^k = 2^k \times 5^k\) 的因数
   • 因子剥离法：通过反复除以 \(2\) 和 \(5\)，将 \(a\) 中所有"合法"质因子去除，若剩余大于 \(1\)，则存在其他质因子（如 \(3, 7, 11\) 等），判定为非终止数
   • 贪心除尽策略：先除尽所有 \(2\) 再除尽所有 \(5\)（或顺序相反），由于 \(2\) 和 \(5\) 互质，顺序不影响最终结果
   • 数学定理的工程化：将"有限小数判定"这一数论定理转化为简单的循环除法操作，避免了完整的质因数分解
   • 适用于数论性质判定、质因子筛选、小数分类等基础数学问题

【算法标签】

普及- #约数

【代码详解】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int l, r, ans;

// 检查一个数是否只包含质因子 2 和 5
bool check(int x)
{
    // 不断除以 2
    while (x % 2 == 0)
    {
        x /= 2;
    }

    // 不断除以 5
    while (x % 5 == 0)
    {
        x /= 5;
    }

    // 如果最终结果为 1，说明 x 只包含质因子 2 和 5
    return x == 1;
}

int main()
{
    cin >> l >> r;

    // 遍历区间 [l, r] 中的每个数
    for (int i = l; i <= r; i++)
    {
        if (check(i))
        {
            ans++;
        }
    }

    cout << ans << endl;
    return 0;
}

【运行结果】

2 11
5