题解：洛谷 B4499 二进制回文串

【题目来源】

洛谷：B4499 [GESP202603 三级] 二进制回文串 - 洛谷

【题目描述】

对于一个正整数 \(n\)，我们将其转换为不含前导零的二进制表示，如果这个二进制序列从左向右读与从右向左读完全相同，则称该数为二进制回文数。例如，\(9\) 的二进制表示为 \((1001)_2\)，是二进制回文数；\(12\) 的二进制表示为 \((1100)_2\)，不是二进制回文数。

你的任务是：给定一个正整数 \(n\)，计算在 \(1\) 到 \(n\) 的范围内二进制回文数的数量。

【输入】

输入一行，包含一个正整数 \(n\)。

【输出】

输出一行，包含一个数，表示在 \(1\) 到 \(n\) 的范围内二进制回文数的数量。

【输入样例】

【输出样例】

【核心思想】

问题分析：给定正整数 \(n\)，需要统计 \([1, n]\) 范围内二进制回文数的个数。二进制回文数是指其二进制表示（不含前导零）从左到右读与从右到左读完全相同的数。例如 \(9 = (1001)_2\) 是回文数，\(12 = (1100)_2\) 不是。本质是进制转换 + 回文判定的组合问题。
算法选择：
- 进制转换：将十进制数转换为二进制字符串表示
- 回文判定：将字符串与其反转后的字符串比较，相同则为回文
关键步骤：
- 进制转换函数 Dtom(n, m)：
  - 初始化空字符串 \(ans\)
  - 当 \(n > 0\) 时循环：
    - \(ans \leftarrow d[n \bmod m] + ans\)（将新位插入字符串前端）
    - \(n \leftarrow \lfloor n / m \rfloor\)
  - 返回 \(ans\)
- 主流程：
  - 读入 \(n\)
  - 遍历 \(i\) 从 \(1\) 到 \(n\)：
    - \(t \leftarrow\) Dtom(i, 2)（转换为二进制字符串）
    - \(s \leftarrow t\)（保存原串）
    - reverse(t.begin(), t.end())（反转字符串）
    - 若 \(t = s\)，则 cnt++
  - 输出 \(cnt\)
时间/空间复杂度：
- 时间复杂度：\(O(n \cdot \log n)\)，每个数转换二进制 \(O(\log i)\)，反转和比较 \(O(\log i)\)
- 空间复杂度：\(O(\log n)\)，存储单个数的二进制字符串
进制转换与回文判定的核心思想：
- 短除法进制转换：通过反复取模和整除，从低位到高位提取 \(m\) 进制下的各位数字，利用字符串前插（d[n % m] + ans）保证高位在前，得到标准进制表示
- 回文对称性：回文串的正读反读相同，因此将字符串反转后与原串比较即可判定，无需逐位双指针扫描
- 前导零自然消除：短除法转换过程中，当 \(n\) 变为 \(0\) 时停止，最高位不会为 \(0\)，天然满足"不含前导零"的要求
- 通用进制框架：Dtom 函数通过字符集 d 支持最多 \(16\) 进制，本题传入 \(m = 2\) 即得二进制，体现了算法的可复用性
- 适用于进制转换、回文数统计、数字模式识别等基础数论与字符串结合问题

【算法标签】

入门 #语法基础

【代码详解】

#include <bits/stdc++.h>  // 包含所有标准库头文件
using namespace std;       // 使用标准命名空间

int n, cnt;  // 定义全局变量：n(输入的数)，cnt(计数器，记录符合条件的数的个数)

// 将十进制数n转换为m进制表示的字符串
string Dtom(int n, int m)
{
    // 定义字符集，支持最多16进制（0-9, A-F）
    string d = "0123456789ABCDEF";

    string ans = "";  // 初始化结果字符串为空

    // 将十进制数n转换为m进制
    while (n > 0)
    {
        // 获取n除以m的余数，即当前位的值
        // 余数作为索引在d中查找对应的字符
        // 注意：这里将新得到的位添加到字符串的前面
        ans = d[n % m] + ans;

        // n除以m，为处理下一位做准备
        n /= m;
    }

    return ans;  // 返回转换后的m进制字符串
}

int main()  // 主函数入口
{
    cin >> n;  // 输入整数n

    // 遍历1到n的所有整数
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        // 将整数i转换为二进制字符串
        string t = Dtom(i, 2);

        // 保存原始字符串
        string s = t;

        // 将字符串t反转
        reverse(t.begin(), t.end());

        // 判断反转后的字符串是否与原字符串相同
        // 即判断二进制表示是否是回文数
        if (t == s)
        {
            cnt++;  // 如果是回文数，计数器加1
        }
    }

    cout << cnt << endl;  // 输出满足条件的数的个数

    return 0;  // 程序正常结束
}

【运行结果】

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posted @ 2026-07-01 19:09 团爸讲算法阅读(24) 评论(0) 收藏举报

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题解：洛谷 B4499 二进制回文串

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