题解：洛谷 AT_abc357_d 88888888

【题目来源】

洛谷：AT_abc357_d [ABC357D] 88888888 - 洛谷（luogu.com.cn)

【题目描述】

For a positive integer \(N\), let \(V_N\) be the integer formed by concatenating \(N\) exactly \(N\) times.
对于一个正整数 \(N\)，令 \(V_N\) 为将 \(N\) 重复连接 \(N\) 次形成的整数。

More precisely, consider \(N\) as a string, concatenate \(N\) copies of it, and treat the result as an integer to get \(V_N\).
更准确地说，将 \(N\) 视为字符串，连接 \(N\) 个它的副本，并将结果视为整数，得到 \(V_N\)。

For example, \(V_3=333\) and \(V_{10}=10101010101010101010\).
例如，\(V_3 = 333\)，\(V_{10} = 10101010101010101010\)。

Find the remainder when \(V_N\) is divided by \(998244353\).
求 \(V_N\) 除以 \(998244353\) 的余数。

【输入】

The input is given from Standard Input in the following format:

N

【输出】

Print the remainder when \(V_N\) is divided by \(998244353\).

【输入样例】

5

【输出样例】

55555

【核心思想】

1. 问题分析：给定正整数 \(N\)，构造 \(V_N\) 为将 \(N\) 作为字符串重复连接 \(N\) 次所形成的整数，求 \(V_N \bmod 998244353\)。由于 \(N\) 可达 \(10^{18}\)，直接构造 \(V_N\) 不可行，需通过数学公式将字符串拼接转化为数值运算，利用等比数列求和与模运算高效求解。

2. 算法选择：

   • 等比数列求和公式：将 \(N\) 次拼接表示为 \(V_N = N \cdot \sum_{i=0}^{N-1} 10^{i \cdot l}\)，其中 \(l\) 为 \(N\) 的十进制位数，转化为等比数列求和问题
   • 快速幂（Binary Exponentiation）：高效计算 \(10^k \bmod 998244353\)，时间复杂度 \(O(\log k)\)
   • 费马小定理求模反元素：利用 \(998244353\) 为质数，通过 \(a^{-1} \equiv a^{p-2} \pmod p\) 计算 \((10^l - 1)^{-1} \bmod 998244353\)
   • 欧拉定理降幂：在指数运算中利用 \(\phi(998244353) = 998244352\) 对指数取模，避免大数运算

3. 关键步骤：

   • 计算位数：\(l = \text{getlen}(N)\)，即 \(N\) 的十进制位数
   • 建立数学模型：
     • 每次拼接相当于将当前结果左移 \(l\) 位（乘以 \(10^l\)）再加上 \(N\)
     • \(V_N = N + N \cdot 10^l + N \cdot 10^{2l} + \cdots + N \cdot 10^{(N-1)l} = N \cdot \frac{10^{N \cdot l} - 1}{10^l - 1}\)
   • 分子计算：\(c_1 = (10^{N \cdot l} - 1) \bmod 998244353\)，其中指数 \(N \cdot l\) 需先对 \(998244352\) 取模（欧拉定理降幂）
   • 分母求逆：\(c_2 = (10^l - 1)^{-1} \bmod 998244353 = (10^l - 1)^{998244351} \bmod 998244353\)
   • 合成结果：\(\text{res} = N \bmod 998244353 \cdot c_1 \bmod 998244353 \cdot c_2 \bmod 998244353\)

4. 时间/空间复杂度：

   • 时间复杂度：\(O(\log N + \log 998244353)\)，其中 \(O(\log N)\) 用于计算位数和快速幂中的指数处理，\(O(\log 998244353)\) 用于两次快速幂运算（分子和模反元素）
   • 空间复杂度：\(O(1)\)，仅使用常数个变量存储中间结果

5. 数论与等比数列的核心思想：

   • 字符串拼接的代数化：将重复拼接操作转化为等比数列求和，避免直接处理超大整数
   • 模运算下的除法转乘法：在模质数域中，除法等价于乘以模反元素，确保所有运算在模意义下封闭
   • 指数降幂技巧：利用欧拉定理 \(a^b \equiv a^{b \bmod \phi(p)} \pmod p\)（当 \(a\) 与 \(p\) 互质时），将超大指数 \(N \cdot l\) 降至可计算范围
   • 快速幂的高效性：通过二进制分解将幂运算从 \(O(n)\) 优化到 \(O(\log n)\)，是处理大数模运算的基础工具
   • 适用于大数构造、重复模式数值化、模意义下的级数求和问题

【算法标签】

普及 #欧拉定理

【代码详解】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define int long long  // 定义宏，将 int 替换为 long long，方便处理大整数
const int mod = 998244353;  // 定义常量 mod，表示模数
int n;  // 定义变量 n，表示输入的数

// 快速幂函数，计算 a^b % p
int qmi(int a, int b, int p)
{
    int res = 1;  // 初始化结果为 1
    while (b)  // 当 b 不为 0 时
    {
        if (b & 1) res = res * a % p;  // 如果 b 的最低位为 1，更新结果
        a = a * a % p;  // 更新 a
        b >>= 1;  // 右移一位
    }
    return res;  // 返回结果
}

// 计算数字 x 的位数
int getlen(int x)
{
    int res = 0;  // 初始化结果为 0
    while (x)  // 当 x 不为 0 时
    {
        res++;  // 位数加 1
        x /= 10;  // 去掉最后一位
    }
    return res;  // 返回位数
}

signed main()
{
    cin >> n;  // 输入数字 n

    int l = getlen(n);  // 计算数字 n 的位数 l

    // 计算 c1 = (10^(n * l) - 1) % mod
    int c1 = qmi(10, n % (mod - 1) * l % (mod - 1), mod) - 1;

    // 计算 c2 = (10^l - 1)^(-1) % mod
    int c2 = qmi(10, l, mod) - 1;
    c2 = qmi(c2, mod - 2, mod);  // 计算模反元素

    // 计算最终结果 res = n * c1 * c2 % mod
    int res = n % mod * c1 % mod * c2 % mod;

    cout << res << endl;  // 输出结果
    return 0;
}

【运行结果】

5
55555