题解：学而思编程 小明的U盘

【题目来源】

学而思编程：小明的U盘

【题目描述】

在 2202 年的某一天，小明得到了一个高端 U 盘。

但是小明发现这个 U 盘有一些问题：

这个 U 盘的传输接口大小是 \(L\)，只能传输大小不超过 \(L\) 的文件。

这个 U 盘容量是 \(S\)，一共只能装不超过 \(S\) 的文件。

但是他要备份的资料却有很多，你只能备份其中的一部分。

共有 \(n\) 个文件，第 \(i\) 个文件的大小和价值为 \(w_i,v_i\)。小明很快发现他不可能把所有文件装进优盘，好在这是一个高端的 U 盘，他可以花钱升级接口大小、或者升级容量。每花 \(1\) 元可以将接口大小增加 \(1\)，每花 \(1\) 元可以将 U 盘容量增加 \(1\)。

注意：你的文件不能被分割（你只能把一个文件整个的传输进去，并储存在U盘中），你放在 U 盘中文件的总大小不能超过 U 盘容量。

现在问题来了：小明只有 \(m\) 元，他想知道，他最多可能将多大价值的文件放入 U 盘中。

【输入】

第 \(1\) 行，\(4\) 个正整数 \(n,m,L,S\)。

第 \(2\) 行，\(n\) 个正整数 \(w_1,w_2,⋯ ,w_n\)。

第 \(3\) 行，\(n\) 个正整数 \(v_1,v_2,⋯ ,v_n\)。

【输出】

\(1\) 个整数，最多可以放入 U 盘的文件总价值。

【输入样例】

5 9 4 4
6 9 9 5 6
8 7 9 1 5

【输出样例】

9

【核心思想】

1. 问题分析：给定 \(n\) 个文件（大小 \(w_i\)，价值 \(v_i\)），U盘初始接口大小 \(L\)、容量 \(S\)，预算 \(m\) 元。每花1元可将接口或容量增加1。文件大小必须同时满足：不超过接口大小（才能传输）和不超过U盘容量（才能存储）。可以选择升级接口使某个大文件能够传输，求在预算内能装入的最大总价值。这是一个01背包变体问题，关键在于枚举哪个文件享受接口升级优惠。

2. 算法选择：

   • 01背包：dp[i][j] 表示前 \(i\) 个文件，花费不超过 \(j\) 的最大价值
   • 枚举优惠券使用：排序后枚举哪个文件使用接口升级

3. 关键步骤：

   • 按大小排序：将文件按 \(w_i\) 从小到大排序，保证枚举时前面文件都能通过当前接口
   • 01背包DP：总可用资金 = 初始容量 \(S\) + 预算 \(m\)
     • dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-w[i]] + v[i])（选或不选第 \(i\) 个文件）
   • 枚举升级使用：对于排序后的第 \(i\) 个文件：
     • 升级接口后的实际大小：cost = max(w[i] - L, 0)（升级后大小为 \(L\)，原大小 \(w[i]\) 需要升级 \(w[i]-L\)）
     • 剩余容量给其他文件：S + m - cost
     • 答案更新：ans = max(ans, dp[i][S + m - cost])

4. 时间/空间复杂度：

   • 时间复杂度：\(O(n \times (S+m) + n \log n)\)，排序 \(O(n \log n)\)，背包 \(O(n \times (S+m))\)
   • 空间复杂度：\(O(n \times (S+m))\)

5. 01背包变体（带优惠券抵扣）的核心思想：

   • 排序预处理：按文件大小排序，确保枚举时前面文件都能通过当前接口大小
   • 枚举策略：枚举哪个文件使用接口升级优惠，其余文件使用普通容量
   • 费用计算：升级接口后的实际占用 = max（原大小 - 接口大小， 0)
   • 容量分配：总资源 = 初始容量 + 预算，分配给升级文件和普通文件
   • 适用于带单一优惠选择的背包问题

【算法标签】

01背包

【代码详解】

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 505;
int n, m, l, s, dp[N][20005], ans;  // dp: 背包DP数组, ans: 最终答案
struct node
{
    int w, v;  // w: 原价, v: 价值
} a[N];

// 按原价从小到大排序
bool cmp(node x, node y)
{
    return x.w < y.w;
}

int main()
{
    cin >> n >> m >> l >> s;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        cin >> a[i].w;  // 读取原价
    }
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        cin >> a[i].v;  // 读取价值
    }
    sort(a + 1, a + n + 1, cmp);

    // 0/1背包：计算前i个物品，花费不超过j的最大价值
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        for (int j = 1; j <= s + m; j++)  // 总可用资金 = 初始资金s + 优惠券价值m
        {
            dp[i][j] = dp[i - 1][j];  // 不选第i个物品
            if (j >= a[i].w)
            {
                // 选第i个物品
                dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i - 1][j - a[i].w] + a[i].v);
            }
        }
    }

    // 枚举使用优惠券购买的商品i
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        // 使用优惠券后的实际花费：原价 - 优惠券价值l，但不能为负
        int cost = max(a[i].w - l, 0);
        ans = max(ans, dp[i][s + m - cost]);
    }
    cout << ans;
    return 0;
}

【运行结果】

5 9 4 4
6 9 9 5 6
8 7 9 1 5
9