题解：洛谷 P2340 Cow Exhibition

【题目来源】

洛谷：P2340 [USACO03FALL] Cow Exhibition G - 洛谷

【题目描述】

奶牛想证明它们是聪明而风趣的。为此，贝西筹备了一个奶牛博览会，她已经对 \(N\) 头奶牛进行了面试，确定了每头奶牛的智商和情商。

贝西有权选择让哪些奶牛参加展览。由于负的智商或情商会造成负面效果，所以贝西不希望出展奶牛的智商之和小于零，或情商之和小于零。满足这两个条件下，她希望出展奶牛的智商与情商之和越大越好，请帮助贝西求出这个最大值。

【输入】

第一行：单个整数 \(N\)，\(1 \le N \le 400\)。

第二行到第 \(N+1\) 行：第 \(i+1\) 行有两个整数：\(S_i\) 和 \(F_i\)，表示第 \(i\) 头奶牛的智商和情商，\(-1000 \le S_i,F_i \le 1000\)。

【输出】

输出单个整数：表示情商与智商和的最大值。贝西可以不让任何奶牛参加展览，如果这样做是最好的，输出 \(0\)。

【输入样例】

【输出样例】

【核心思想】

问题分析：给定 \(N\) 头奶牛，每头奶牛有智商 \(S_i\) 和情商 \(F_i\)。选择若干头奶牛参展，要求选中的奶牛智商之和 \(\geq 0\) 且情商之和 \(\geq 0\)。目标是最大化智商之和与情商之和的总和。可以一头都不选，此时输出 \(0\)。这是一个01背包 + 偏移量处理负数问题。
算法选择：
- 01背包（0-1 Knapsack）：每头奶牛只有"选"或"不选"两种状态，符合01背包模型
- 偏移量技巧（Offset Technique）：由于智商 \(S_i\) 可能为负数（\(-1000 \leq S_i \leq 1000\)），直接使用数组下标无法表示负数和。引入偏移量 \(OFFSET = 400000\)，将智商之和为 \(x\) 的状态映射到数组下标 \(j = x + OFFSET\)
- 滚动数组优化：使用 dp[2][...] 交替存储当前层和上一层状态，将空间复杂度从 \(O(N \times M)\) 优化至 \(O(M)\)
关键步骤：
- 初始化：
  - 读入 \(N\) 和每头奶牛的 \(S_i\)、\(F_i\)
  - memset(dp, -0x3f, sizeof(dp))：DP数组初始化为负无穷，表示不可达状态
  - dp[0][OFFSET] = 0：初始状态，智商之和为 \(0\)（对应下标 \(OFFSET\)），情商之和为 \(0\)
- 状态转移（枚举每头奶牛 \(i\) 从 \(1\) 到 \(N\)）：
  - cur = i & 1，pre = (i-1) & 1：滚动数组切换
  - 枚举所有可能的智商之和下标 \(j\)（从 \(0\) 到 \(2 \times OFFSET\)）：
    - 不选第 \(i\) 头：dp[cur][j] = dp[pre][j]（继承上一层状态）
    - 选第 \(i\) 头（若 \(j \geq S_i\) 且 \(j - S_i\) 在范围内）：
      - dp[cur][j] = max(dp[cur][j], dp[pre][j - S_i] + F_i)
      - 含义：从上一层智商之和为 \((j - S_i) - OFFSET\) 的状态转移，加上当前奶牛的情商 \(F_i\)
- 统计答案：
  - last = n & 1：最终状态所在层
  - 遍历 \(j\) 从 \(OFFSET\) 到 \(2 \times OFFSET\)（只考虑智商之和 \(\geq 0\) 的状态）：
    - 若 dp[last][j] >= 0（情商之和也 \(\geq 0\)，满足两个约束）：
      - sumS = j - OFFSET（实际智商之和）
      - sumF = dp[last][j]（实际情商之和）
      - ans = max(ans, sumS + sumF)
  - 输出 \(ans\)（注意 \(ans\) 初始为 \(0\)，表示不选任何奶牛）
时间/空间复杂度：
- 时间复杂度：\(O(N \times M)\)，其中 \(M = 2 \times OFFSET = 800000\)。\(N \leq 400\)，总操作数约 \(3.2 \times 10^8\)
- 空间复杂度：\(O(M)\)，滚动数组仅需两层，每层 \(2 \times OFFSET + 1\) 个整数
01背包 + 偏移量处理负权的核心思想：
- 双约束转化：将"智商之和 \(\geq 0\) 且情商之和 \(\geq 0\)"的约束，转化为以智商之和作为DP维度、情商之和作为DP值，最后同时检查两个约束
- 偏移量技巧：当背包容量/重量可能为负时，引入足够大的偏移量将所有可能值映射到非负下标。本题中 \(N \times |S_{max}| = 400 \times 1000 = 400000\)，取 \(OFFSET = 400000\) 可覆盖 \([-400000, 400000]\) 的范围
- DP值含义：dp[j] 表示智商之和为 \(j - OFFSET\) 时，情商之和的最大值。这与传统01背包"价值最大化"不同，这里是将情商作为被优化的"价值"
- 初始化为负无穷：不可达状态设为负无穷，只有从 dp[OFFSET] = 0 出发能到达的状态才有效。最后检查 dp[j] >= 0 既保证了情商之和 \(\geq 0\)，又过滤了不可达状态
- 适用于带负权、双属性约束、多维01背包类问题

【算法标签】

普及 #01背包

【代码详解】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 405, M = 400005, OFFSET = 400000;   // N: 最大奶牛数, M: DP数组范围, OFFSET: 偏移量（处理负数）
int n;                          // 奶牛数量
int s[N], f[N];                 // s[i]: 第i头奶牛的智商, f[i]: 第i头奶牛的情商
// dp[cur][j]: 当前处理到第i头奶牛，智商之和为(j-OFFSET)时，情商之和的最大值
// 使用滚动数组优化空间：cur和pre交替使用
int dp[2][2 * M];

int main()
{
    cin >> n;                   // 读入奶牛数量

    // 读入每头奶牛的智商和情商
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        cin >> s[i] >> f[i];
    }

    // 初始化DP数组为负无穷（表示不可达状态）
    memset(dp, -0x3f, sizeof(dp));

    // 初始状态：一头奶牛都不选时，智商之和为0，情商之和为0
    // 用偏移量OFFSET表示智商之和为0：dp[0][OFFSET] = 0
    dp[0][OFFSET] = 0;

    // 动态规划：枚举每头奶牛
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        int cur = i & 1;        // 当前层下标（0或1，滚动数组）
        int pre = (i - 1) & 1;  // 上一层下标

        // 枚举所有可能的智商之和（用偏移后的下标j表示）
        for (int j = 0; j <= 2 * M; j++)
        {
            // 情况1：不选第i头奶牛，继承上一层的值
            dp[cur][j] = dp[pre][j];

            // 情况2：选第i头奶牛
            // j >= s[i] + OFFSET 等价于 当前智商之和 >= 选择后的智商之和
            // 注意：s[i]可能是负数，所以用j-s[i]判断是否在范围内
            if (j >= s[i] && j - s[i] <= 2 * M)
            {
                // 从上一层的(j-s[i])状态转移过来，加上当前奶牛的情商f[i]
                dp[cur][j] = max(dp[cur][j], dp[pre][j - s[i]] + f[i]);
            }
        }
    }

    // 统计答案：在所有满足条件的方案中，找智商与情商之和的最大值
    int ans = 0;                // 可以不选任何奶牛，所以ans至少为0
    int last = n & 1;           // 最终状态所在的层

    // 只考虑智商之和 >= 0 的状态（即j >= OFFSET）
    for (int j = OFFSET; j <= 2 * M; j++)
    {
        // dp[last][j] >= 0 表示该状态下情商之和也 >= 0（满足两个约束条件）
        if (dp[last][j] >= 0)
        {
            int sumS = j - OFFSET;          // 实际的智商之和
            int sumF = dp[last][j];           // 实际的情商之和
            ans = max(ans, sumS + sumF);      // 更新最大值
        }
    }

    cout << ans << endl;        // 输出最大智商与情商之和

    return 0;
}

【运行结果】

posted @ 2026-06-25 19:14 团爸讲算法阅读(8) 评论(0) 收藏举报

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题解：洛谷 P2340 Cow Exhibition

普及 #01背包

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