题解：洛谷 P1057 传球游戏

【题目来源】

洛谷：P1057 [NOIP 2008 普及组] 传球游戏 - 洛谷

【题目描述】

上体育课的时候，小蛮的老师经常带着同学们一起做游戏。这次，老师带着同学们一起做传球游戏。

游戏规则是这样的：\(n\) 个同学站成一个圆圈，其中的一个同学手里拿着一个球，当老师吹哨子时开始传球，每个同学可以把球传给自己左右的两个同学中的一个（左右任意），当老师再次吹哨子时，传球停止，此时，拿着球没有传出去的那个同学就是败者，要给大家表演一个节目。

聪明的小蛮提出一个有趣的问题：有多少种不同的传球方法可以使得从小蛮手里开始传的球，传了 \(m\) 次以后，又回到小蛮手里。两种传球方法被视作不同的方法，当且仅当这两种方法中，接到球的同学按接球顺序组成的序列是不同的。比如有三个同学 \(1\) 号、\(2\) 号、\(3\) 号，并假设小蛮为 \(1\) 号，球传了 \(3\) 次回到小蛮手里的方式有 \(1→2→3→1\) 和 \(1→3→2→1\)，共 \(2\) 种。

【输入】

一行，有两个用空格隔开的整数 \(n,m(3≤n≤30,1≤m≤30)\)。

【输出】

\(1\) 个整数，表示符合题意的方法数。

【输入样例】

3 3

【输出样例】

2

【核心思想】

1. 问题分析：\(n\) 个同学站成一个圆圈，小蛮（编号 \(1\)）开始传球，每次可以传给左边或右边的相邻同学，传 \(m\) 次后求球回到小蛮手里的方案数。这是一个环形线性DP问题，关键在于用DP记录每一步到达每个位置的方案数，并用模运算处理环形结构。

2. 算法选择：

   • 线性DP：f[i][j] 表示传 \(i\) 次后到达第 \(j\) 个同学的方案数
   • 环形处理：使用模运算 (j - 1 + n) % n 和 (j + 1) % n 处理环形相邻关系
   • 状态转移：当前位置的方案数由上一轮左右相邻位置的方案数之和得到

3. 关键步骤：

   • 初始化：f[0][0] = 1，表示传 \(0\) 次时球在小蛮（编号 \(0\)）手里，方案数为 \(1\)
   • 状态转移：对于每一步 \(i\)（\(1 \leq i \leq m\)）和每个位置 \(j\)（\(0 \leq j < n\)）
     • f[i][j] = f[i-1][(j-1+n)%n] + f[i-1][(j+1)%n]
     • 即当前位置 \(j\) 的方案数等于上一轮左边和右边相邻位置的方案数之和
   • 答案获取：f[m][0]，即传 \(m\) 次后回到小蛮（编号 \(0\)）手里的方案数

4. 时间/空间复杂度：

   • 时间复杂度：\(O(n \times m)\)，外层 \(m\) 步，内层 \(n\) 个位置
   • 空间复杂度：\(O(n \times m)\)，二维DP数组（可优化为 \(O(n)\)）

5. 环形线性DP的核心思想：

   • 状态设计：f[i][j] 表示经过 \(i\) 步到达位置 \(j\) 的方案数
   • 环形处理：使用模运算将环形结构转化为线性结构处理，编号 \(0\) 和 \(n-1\) 相邻
   • 无后效性：当前状态只与上一轮状态有关，满足DP最优子结构
   • 方案数DP：适用于"从起点出发，走 \(m\) 步回到起点的路径数"类问题
   • 可空间优化：因为只依赖上一轮状态，可用滚动数组将空间优化至 \(O(n)\)

【算法标签】

普及 #线性DP-一维

【代码详解】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 35;      // 定义最大节点数
int n;                 // 节点总数（环形排列）
int k;                 // 移动步数
int f[N][N];           // DP数组，f[i][j]表示移动i步后到达j位置的方案数

int main()
{
    // 输入节点数和移动步数
    cin >> n >> k;

    // 初始化：0步时在0位置的方案数为1
    f[0][0] = 1;

    // 动态规划计算
    for (int i = 1; i <= k; i++)        // 遍历每一步
    {
        for (int j = 0; j < n; j++)     // 遍历每个位置
        {
            // 状态转移：当前步数i到达j的方案数等于
            // 上一步i-1在j-1位置的方案数加上i-1在j+1位置的方案数
            // 使用模运算处理环形结构
            f[i][j] = f[i - 1][(j - 1 + n) % n] + f[i - 1][(j + 1) % n];
        }
    }

    // 输出移动k步后回到原点的方案数
    cout << f[k][0] << endl;

    return 0;
}

【运行结果】

3 3
2