题解：洛谷 P1809 过河问题

【题目来源】

洛谷：P1809 过河问题 - 洛谷

【题目描述】

有一个大晴天，Oliver 与同学们一共 \(N\) 人出游，他们走到一条河的东岸边，想要过河到西岸。而东岸边有一条小船。

船太小了，一次只能乘坐两人。每个人都有一个渡河时间 \(T\)，船划到对岸的时间等于船上渡河时间较长的人所用时间。

现在已知 \(N\) 个人的渡河时间 \(T\)，Oliver 想要你告诉他，他们最少要花费多少时间，才能使所有人都过河。

注意，只有船在东岸（西岸）的人才能坐上船划到对岸。

【输入】

输入文件第一行为人数 \(N\)，以下有 \(N\) 行，每行一个数。

第 \(i+1\) 行的数为第 \(i\) 个人的渡河时间。

【输出】

输出文件仅包含一个数，表示所有人都渡过河的最少渡河时间。

【输入样例】

4
6
7
10
15

【输出样例】

42

【核心思想】

1. 问题分析：给定 \(N\) 个人，每个人有过河时间 \(T_i\)。只有一艘船，最多载两人，船划到对岸的时间等于船上渡河时间较长的人所用时间。需要让所有人过河，使得总时间最短。这是一个经典的贪心策略问题，关键在于每次送最慢的两个人过河时的最优方案选择。

2. 算法选择：

   • 排序：将所有人按过河时间从小到大排序
   • 贪心策略：每次考虑送最慢的两个人过河，有两种方案，选择时间较短的方案
   • 方案比较：
     • 方案1：最快的人带手电筒送最慢的两个人过河
       • 最快和次快的人先过河（\(t_2\)），最快的人回来（\(t_1\)）
       • 最慢和次慢的人过河（\(t_{idx}\)），次快的人回来（\(t_2\)）
       • 总时间：\(t_2 + t_1 + t_{idx} + t_2\)
     • 方案2：最快的人分别送最慢的两个人过河
       • 最快和最慢的人过河（\(t_{idx}\)），最快的人回来（\(t_1\)）
       • 最快和次慢的人过河（\(t_{idx-1}\)），最快的人回来（\(t_1\)）
       • 总时间：\(t_{idx-1} + t_1 + t_{idx} + t_1\)

3. 关键步骤：

   • 读取输入：\(N\)（人数）、\(T[1..N]\)（每个人的过河时间）
   • 排序：sort(t + 1, t + n + 1) 按过河时间从小到大排序
   • 贪心送最慢的两人过河（从后往前，每次 \(idx -= 2\)）：
     • 计算方案1时间：p_1 = t[2] + t[1] + t[idx] + t[2]
     • 计算方案2时间：p_2 = t[idx-1] + t[1] + t[idx] + t[1]
     • 选择较短时间：ans += min(p_1, p_2)
   • 边界处理：
     • 剩余2人：ans += t[2]（两人一起过河）
     • 剩余3人：ans += t[1] + t[2] + t[3]（最快送最慢，最快回来，最快和次快一起过河）
   • 输出结果：最少总时间 \(ans\)

4. 时间/空间复杂度：

   • 时间复杂度：\(O(N \log N)\)，主要是排序复杂度
   • 空间复杂度：\(O(N)\)，存储过河时间

5. 贪心策略的核心思想：

   • 局部最优选择：每次送最慢的两个人过河时，选择两种方案中时间较短的方案
   • 方案比较逻辑：方案1适合最快和次快的人速度相近的情况，方案2适合最快的人速度远快于其他人的情况
   • 边界情况处理：剩余2人或3人时需要特殊处理，避免死循环
   • 贪心正确性：每次局部最优选择可以推导出全局最优解
   • 适用于资源调度、时间优化、配对问题等场景

【算法标签】

普及+ #贪心

【代码详解】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
const int N = 100005;
int n, t[N], ans, idx;  // n: 人数, t: 过河时间, ans: 总时间, idx: 当前最慢的人
signed main()
{
    cin >> n;  // 输入人数
    for (int i = 1; i <= n; i++)  // 输入每个人的过河时间
    {
        cin >> t[i];
    }
    sort(t + 1, t + n + 1);  // 按过河时间从小到大排序
    for (idx = n; idx > 3; idx -= 2)  // 每次送最慢的两个人过河
    {
        int p_1 = t[2] + t[1] + t[idx] + t[2];  // 方案1
        int p_2 = t[idx - 1] + t[1] + t[idx] + t[1];  // 方案2
        ans += min(p_1, p_2);  // 选择时间短的方案
    }
    if (idx == 2)  // 如果还剩2个人
    {
        ans += t[2];  // 最快的两人一起过
    }
    else  // 如果还剩3个人
    {
        ans += t[1] + t[2] + t[3];  // 特殊处理
    }
    cout << ans << endl;  // 输出最少总时间
    return 0;
}

【运行结果】

4
6
7
10
15
42