题解：AcWing 893 集合-Nim游戏

【题目来源】

AcWing：893 集合-Nim游戏 - AcWing题库

【题目描述】

给定 \(n\) 堆石子以及一个由 \(k\) 个不同正整数构成的数字集合 \(S\)。

现在有两位玩家轮流操作，每次操作可以从任意一堆石子中拿取石子，每次拿取的石子数量必须包含于集合 \(S\)，最后无法进行操作的人视为失败。

问如果两人都采用最优策略，先手是否必胜。

【输入】

第一行包含整数 \(k\)，表示数字集合 \(S\) 中数字的个数。

第二行包含 \(k\) 个整数，其中第 \(i\) 个整数表示数字集合 \(S\) 中的第 \(i\) 个数 \(s_i\)。

第三行包含整数 \(n\)。

第四行包含 \(n\) 个整数，其中第 \(i\) 个整数表示第 \(i\) 堆石子的数量 \(h_i\)。

【输出】

如果先手方必胜，则输出 Yes。

否则，输出 No。

【输入样例】

【输出样例】

Yes

【核心思想】

问题分析：给定 \(n\) 堆石子，以及一个包含 \(k\) 个不同正整数的集合 \(S = \{s_1, s_2, \ldots, s_k\}\)。两位玩家轮流操作，每次只能从一堆中取走属于 \(S\) 中的数量的石子。无法操作者失败。与标准 Nim 游戏不同，本题每次可取的石子数受集合 \(S\) 限制，属于受限 Nim 游戏，需要用Sprague-Grundy（SG）定理来求解。
算法选择：
- Sprague-Grundy（SG）定理：任意 impartial game 都可以等价为一个 Nim 堆，其大小由 SG 函数值决定。整个复合游戏的 SG 值为各子游戏 SG 值的异或和。先手必胜当且仅当异或和不为 \(0\)
- SG 函数（Sprague-Grundy Function）：对于状态 \(x\)，\(\text{SG}(x) = \text{mex}\{\text{SG}(y) \mid y \text{ 是 } x \text{ 的后继状态}\}\)，其中 \(\text{mex}\)（Minimum Excluded value）表示集合中未出现的最小非负整数
- 记忆化搜索（Memoization）：由于 SG 函数值具有递归定义，使用数组 f[x] 记忆已计算的状态，避免重复递归
关键步骤：
- 读取输入：集合大小 \(k\)、集合 \(S\)、石子堆数 \(n\)、每堆石子数 \(h_1, \ldots, h_n\)
- 计算单堆 SG 函数值（sg(x)）：
  - 边界：若 f[x] != -1，说明已计算过，直接返回
  - 枚举所有可行动作：对于每个 \(s_i \in S\)，若 \(x \geq s_i\)，则后继状态为 \(x - s_i\)，递归计算 \(\text{sg}(x - s_i)\) 并插入集合
  - mex 运算：从 \(0\) 开始枚举，找到第一个未在集合中出现的非负整数，即为 \(\text{sg}(x)\)
  - 记忆化：f[x] = sg(x)
- 计算总异或和：
  - 初始化 res = 0
  - 对每堆石子数 \(h_i\)：\ res ^= sg(h_i)
- 判断胜负：
  - 若 res != 0，输出 Yes（先手必胜）
  - 若 res == 0，输出 No（先手必败）
时间/空间复杂度：
- 时间复杂度：\(O(n \cdot H \cdot k)\)，其中 \(H = \max(h_i)\) 为最大石子堆数。每堆石子需要计算 SG 值至 \(h_i\)，每个状态枚举 \(k\) 种取法
- 空间复杂度：\(O(H)\)，用于存储 SG 函数记忆化数组 f[0..H]
Sprague-Grundy 定理与 SG 函数的核心思想：
- SG 函数的本质：将任意复杂的 impartial game 状态映射为一个非负整数（nimber），该整数等价于一个标准 Nim 堆的大小。状态的 SG 值由其所有后继状态的 SG 值通过 mex 运算唯一确定
- mex 运算的含义：\(\text{mex}(S)\) 是集合 \(S\) 中未出现的最小非负整数。它保证了 SG 值能够区分"必胜态"和"必败态"——SG 值为 \(0\) 的状态对应 P-position（必败），非 \(0\) 对应 N-position（必胜）
- SG 定理的分解能力：对于由多个独立子游戏构成的复合游戏，整体 SG 值等于各子游戏 SG 值的异或和。这正是为什么本题可以分别计算每堆石子的 SG 值再异或的原因
- 记忆化搜索的必要性：SG 函数值具有重叠子问题性质（多个状态可能转移到同一个后继状态），记忆化将指数级复杂度降为多项式级
- 与标准 Nim 的联系：当 \(S = \{1, 2, \ldots, \infty\}\)（即可以取任意数量石子）时，\(\text{sg}(x) = x\)，SG 定理退化为标准 Nim 游戏的异或和判定
- 适用于：多堆受限取石子游戏、各种可分解为独立子游戏的 impartial game 胜负判定

【算法标签】

博弈论

【代码详解】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 110, M = 10005; // 定义常量 N 和 M
int n, k; // n 表示石子的堆数，k 表示每次可以取的石子数的种类数
int s[N]; // s 数组存储每次可以取的石子数
int f[M]; // f 数组用于记忆化搜索，存储每个状态的 SG 值

// 计算 SG 值
int sg(int x)
{
    if (f[x] != -1) return f[x]; // 如果已经计算过，直接返回
    set<int> S; // S 用于存储所有可能的 SG 值
    for (int i = 0; i < k; i++) { // 遍历所有可能的取石子数
        if (x >= s[i]) S.insert(sg(x - s[i])); // 递归计算 SG 值并插入 S
    }
    for (int i = 0; i <= x; i++) { // 找到最小的未出现在 S 中的非负整数
        if (S.count(i) == 0) return f[x] = i; // 返回该整数作为 SG 值
    }
}

int main()
{
    cin >> k; // 输入每次可以取的石子数的种类数 k
    for (int i = 0; i < k; i++) cin >> s[i]; // 输入每次可以取的石子数
    cin >> n; // 输入石子的堆数 n
    memset(f, -1, sizeof(f)); // 初始化 f 数组为 -1（表示未计算）

    int ans = 0; // 初始化异或结果为 0
    for (int i = 0; i < n; i++) { // 遍历每堆石子
        int x; // 定义变量 x，表示当前堆的石子数
        cin >> x; // 输入当前堆的石子数
        ans ^= sg(x); // 计算当前堆的 SG 值并与异或结果进行异或
    }

    if (ans) puts("Yes"); // 如果异或结果不为 0，输出 Yes
    else puts("No"); // 否则输出 No

    return 0; // 程序结束
}

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 105;     // 最大可取石子数集合大小
const int M = 10005;   // 最大石子堆大小
int n, k;              // n: 石子堆数, k: 可取石子数集合大小
int s[N];              // 可取石子数的集合
int f[M];              // 记忆化SG函数值，f[x]表示有x个石子的SG值

// 计算有x个石子的SG函数值
int sg(int x)
{
    // 如果已经计算过，直接返回记忆化的值
    if (f[x] != -1)
    {
        return f[x];
    }

    // 存储所有后继状态的SG值
    unordered_set<int> S;

    // 遍历所有可能的操作：从x个石子中取走s[i]个
    for (int i = 0; i < k; i++)
    {
        int sum = s[i];  // 这次可以取走的石子数
        if (x >= sum)    // 如果当前石子数足够取走s[i]个
        {
            // 取走s[i]个石子后，剩下x-sum个石子
            // 记录这个后继状态的SG值
            S.insert(sg(x - sum));
        }
    }

    // mex运算：找到最小的不在集合S中的非负整数
    for (int i = 0; ; i++)
    {
        if (!S.count(i))  // 如果i不在集合S中
        {
            return f[x] = i;  // 记忆化并返回SG值
        }
    }
}

int main()
{
    // 输入可取石子数的集合
    cin >> k;
    for (int i = 0; i < k; i++)
    {
        cin >> s[i];
    }

    // 输入石子堆数
    cin >> n;

    // 初始化SG函数记忆化数组为-1（表示未计算）
    memset(f, -1, sizeof(f));

    int res = 0;  // 所有石子堆SG值的异或和

    // 输入每堆的石子数，并计算SG值的异或和
    for (int i = 0; i < n; i++)
    {
        int x;  // 当前堆的石子数
        cin >> x;
        res ^= sg(x);  // 计算当前堆的SG值并异或
    }

    // 根据SG定理判断胜负：
    // 如果所有石子堆SG值的异或和不为0，先手必胜
    // 如果所有石子堆SG值的异或和为0，先手必败
    if (res)
    {
        cout << "Yes" << endl;  // 先手必胜
    }
    else
    {
        cout << "No" << endl;   // 先手必败
    }

    return 0;
}

【运行结果】

posted @ 2026-06-23 11:25 团爸讲算法阅读(10) 评论(0) 收藏举报

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