题解：AcWing 891 Nim游戏

【题目来源】

AcWing：891 Nim游戏 - AcWing题库

【题目描述】

给定 \(n\) 堆石子，两位玩家轮流操作，每次操作可以从任意一堆石子中拿走任意数量的石子（可以拿完，但不能不拿），最后无法进行操作的人视为失败。

问如果两人都采用最优策略，先手是否必胜。

【输入】

第一行包含整数 \(n\)。

第二行包含 \(n\) 个数字，其中第 \(i\) 个数字表示第 \(i\) 堆石子的数量。

【输出】

如果先手方必胜，则输出 Yes。

否则，输出 No。

【输入样例】

2
2 3

【输出样例】

Yes

【核心思想】

1. 问题分析：给定 \(n\) 堆石子，两位玩家轮流从任意一堆中取走任意数量的石子（至少取 \(1\) 个），无法操作者失败。这是一个经典的** impartial game（公平组合游戏），属于Nim 游戏。问题的关键在于判断先手是否必胜**。

2. 算法选择：

   • Nim 游戏定理（Bouton's Theorem）：对于 \(n\) 堆石子的 Nim 游戏，先手必胜当且仅当所有堆石子数量的异或和（XOR sum）不为 \(0\)。形式化地，设第 \(i\) 堆石子数为 \(a_i\)，则先手必胜 \(\iff a_1 \oplus a_2 \oplus \ldots \oplus a_n \neq 0\)
   • Sprague-Grundy 定理的特例：Nim 游戏中每堆石子的 Grundy 数（或称 nimber）就是该堆的石子数本身，整个游戏的 Grundy 数为各堆 Grundy 数的异或和

3. 关键步骤：

   • 读取输入：石子堆数 \(n\) 和每堆的石子数量 \(a_1, a_2, \ldots, a_n\)
   • 计算异或和：初始化 res = 0，依次将每堆石子数与 res 进行异或：res ^= a_i
   • 判断胜负：
     • 若 res != 0，输出 Yes（先手必胜）
     • 若 res == 0，输出 No（先手必败）

4. 时间/空间复杂度：

   • 时间复杂度：\(O(n)\)，只需遍历 \(n\) 堆石子，每次进行 \(O(1)\) 的异或运算
   • 空间复杂度：\(O(1)\)，仅使用一个整型变量存储异或结果

5. Nim 游戏与异或和的核心思想：

   • P-position 与 N-position：
     • P-position（Previous-player win，必败态）：前一个玩家（即刚刚完成操作的玩家）有必胜策略。在 Nim 游戏中，异或和为 \(0\) 的状态是 P-position
     • N-position（Next-player win，必胜态）：下一个玩家（即将操作的玩家）有必胜策略。在 Nim 游戏中，异或和不为 \(0\) 的状态是 N-position
   • 必胜策略的构造性证明：
     • 若当前异或和 \(S = a_1 \oplus a_2 \oplus \ldots \oplus a_n \neq 0\)，设 \(S\) 的最高位为第 \(k\) 位，则必存在某堆 \(a_i\) 的第 \(k\) 位也为 \(1\)。令 \(a_i' = a_i \oplus S\)，则 \(a_i' < a_i\)（因为最高位被消去），且新的异或和为 \(0\)。因此先手总可以将局面变为 P-position
     • 若当前异或和 \(S = 0\)，则任何操作都会改变某一堆的值，使异或和变为非 \(0\)。因此后手总能将局面恢复为 P-position
   • 终止状态：全 \(0\) 状态的异或和为 \(0\)，是 P-position，即最后操作的人获胜
   • 适用于：多堆取石子游戏、异或和判胜负的公平组合游戏

【算法标签】

博弈论

【代码详解】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int main()
{
    int n;           // 石子堆数
    cin >> n;

    int res = 0;     // 异或结果，初始为0

    // 读取每堆石子的数量
    while (n--)
    {
        int x;       // 当前堆的石子数量
        cin >> x;
        res ^= x;    // 将所有石子数量进行异或运算
    }

    // Nim博弈定理：
    // 如果所有石子数量的异或结果不为0，先手必胜
    // 如果所有石子数量的异或结果为0，先手必败
    if (res)  // 如果res != 0
    {
        cout << "Yes" << endl;  // 先手必胜
    }
    else
    {
        cout << "No" << endl;   // 先手必败
    }

    return 0;
}

【运行结果】

2
2 3
Yes