题解：AcWing 885 求组合数I

【题目来源】

AcWing：885 求组合数 I - AcWing题库

【题目描述】

给定 \(n\) 组询问，每组询问给定两个整数 \(a,b\)，请你输出 \(C_a^b\ mod\ (10^9+7)\) 的值。

【输入】

第一行包含整数 \(n\)。

接下来 \(n\) 行，每行包含一组 \(a\) 和 \(b\)。

【输出】

共 \(n\) 行，每行输出一个询问的解。

【输入样例】

3
3 1
5 3
2 2

【输出样例】

3
10
1

【核心思想】

1. 问题分析：给定 \(n\) 组询问，每组询问给定两个整数 \(a, b\)，要求计算组合数 \(C_a^b \bmod (10^9+7)\) 的值。这是一个经典的组合计数问题，数据范围较小（\(a \leq 2000\)），适合使用递推预处理的方法在 \(O(N^2)\) 时间内预计算出所有组合数，之后每次查询 \(O(1)\) 输出。

2. 算法选择：

   • 递推法（杨辉三角）：利用组合数的递推关系 \(C(n, k) = C(n-1, k) + C(n-1, k-1)\)，从边界情况出发逐步填表
   • 动态规划思想：将问题分解为子问题，每个组合数依赖于上方和左上方的两个值，避免重复计算
   • 模运算：每一步计算都对 \(10^9+7\) 取模，防止整数溢出

3. 关键步骤：

   • 预处理组合数表：
     • 初始化二维数组 c[N][N]，其中 c[i][j] 表示 \(C_i^j \bmod (10^9+7)\)
     • 边界条件：对于所有 \(i \in [0, N)\)，`c[i][0] = 1\(（\)C_i^0 = 1$）
     • 递推填表：对于 \(i\) 从 \(0\) 到 \(N-1\)，\(j\) 从 \(1\) 到 \(i\)：
       • c[i][j] = (c[i-1][j] + c[i-1][j-1]) % mod
     • 总预处理时间 \(O(N^2)\)，其中 \(N = 2005\)
   • 处理查询：
     • 读取询问组数 \(n\)
     • 对于每组询问 \((a, b)\)：
       • 直接查表输出 c[a][b]
     • 单次查询时间 \(O(1)\)

4. 时间/空间复杂度：

   • 时间复杂度：\(O(N^2 + n)\)，预处理 \(O(N^2)\)（\(N = 2000\)），每次查询 \(O(1)\)
   • 空间复杂度：\(O(N^2)\)，存储组合数表 c[N][N]

5. 递推法求组合数的核心思想：

   • 递推公式来源：从 \(n\) 个元素中选 \(k\) 个，考虑第 \(n\) 个元素：若选，则需从前 \(n-1\) 个中选 \(k-1\) 个（\(C(n-1, k-1)\)）；若不选，则需从前 \(n-1\) 个中选 \(k\) 个（\(C(n-1, k)\)）。故 \(C(n, k) = C(n-1, k) + C(n-1, k-1)\)
   • 与杨辉三角的关系：组合数表就是杨辉三角，每个数等于上方两数之和
   • 预处理策略：当查询次数多而数据范围不大时，预处理所有组合数并查表，比每次用阶乘+逆元计算更高效
   • 取模处理：加法取模可在每次加法后立即进行，避免中间结果溢出
   • 适用于 \(n\) 较小（通常 \(n \leq 2000\)）且查询次数多的组合数计算场景

【解题思路】

【算法标签】

排列组合

【代码详解】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 2005, mod = 1e9 + 7; // 定义常量 N 和 mod
int c[N][N]; // c 数组存储组合数 C(i, j)

// 初始化组合数表
void init()
{
    for (int i = 0; i < N; i++) { // 遍历 i 从 0 到 N-1
        for (int j = 0; j <= i; j++) { // 遍历 j 从 0 到 i
            if (j == 0) c[i][j] = 1; // 如果 j 为 0，C(i, 0) = 1
            else c[i][j] = (c[i - 1][j - 1] + c[i - 1][j]) % mod; // 递推计算 C(i, j)
        }
    }
}

int main()
{
    int n; // 定义整数 n，表示查询的次数
    init(); // 初始化组合数表
    cin >> n; // 输入查询的次数 n
    while (n--) { // 遍历每个查询
        int a, b; // 定义整数 a 和 b
        cin >> a >> b; // 输入 a 和 b
        cout << c[a][b] << endl; // 输出组合数 C(a, b)
    }
    return 0; // 程序结束
}

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 2005;         // 最大n值
const int mod = 1e9 + 7;    // 模数，用于防止溢出

int c[N][N];  // 组合数表，c[n][k] 表示 C(n, k) mod mod

// 初始化组合数表（递推法）
void init()
{
    for (int i = 0; i < N; i++)  // 遍历所有n
    {
        for (int j = 0; j <= i; j++)  // 对于每个n，遍历所有k (0 ≤ k ≤ n)
        {
            if (!j)  // 基本情况1：C(n, 0) = 1
            {
                c[i][j] = 1;
            }
            else
            {
                // 递推公式：C(n, k) = C(n-1, k) + C(n-1, k-1)
                c[i][j] = (c[i - 1][j] + c[i - 1][j - 1]) % mod;
            }
        }
    }
}

int main()
{
    // 预处理组合数表
    init();

    int n;  // 查询次数
    cin >> n;

    while (n--)  // 处理每个查询
    {
        int a, b;  // 输入n和k
        cin >> a >> b;

        // 直接查表输出组合数
        cout << c[a][b] << endl;
    }

    return 0;
}

【运行结果】

3
3 1
3
5 3
10
2 2
1