题解：AcWing 883 高斯消元解线性方程组
【题目来源】
AcWing：883 高斯消元解线性方程组 - AcWing题库
【题目描述】
输入一个包含 \(n\) 个方程 \(n\) 个未知数的线性方程组。
方程组中的系数为实数。
求解这个方程组。
下图为一个包含 \(m\) 个方程 \(n\) 个未知数的线性方程组示例：
【输入】
第一行包含整数 \(n\)。
接下来 \(n\) 行，每行包含 \(n+1\) 个实数，表示一个方程的 \(n\) 个系数以及等号右侧的常数。
【输出】
如果给定线性方程组存在唯一解，则输出共 \(n\) 行，其中第 \(i\) 行输出第 \(i\) 个未知数的解，结果保留两位小数。
注意：本题有 SPJ，当输出结果为 0.00 时，输出 -0.00 也会判对。在数学中，一般没有正零或负零的概念，所以严格来说应当输出 0.00，但是考虑到本题作为一道模板题，考察点并不在于此，在此处卡住大多同学的代码没有太大意义，故增加 SPJ，对输出 -0.00 的代码也予以判对。
如果给定线性方程组存在无数解，则输出 Infinite group solutions。
如果给定线性方程组无解，则输出 No solution。
【输入样例】
3
1.00 2.00 -1.00 -6.00
2.00 1.00 -3.00 -9.00
-1.00 -1.00 2.00 7.00
【输出样例】
1.00
-2.00
3.00
【核心思想】
-
问题分析：给定一个包含 \(n\) 个方程 \(n\) 个未知数的线性方程组，系数为实数，求解该方程组。解的情况有三种：唯一解、无穷多解、无解。这是一个经典的线性代数问题，核心在于利用高斯消元法（Gaussian Elimination）将增广矩阵化为行阶梯形，从而判断解的情况并求解。
-
算法选择：
- 高斯消元法：通过初等行变换将增广矩阵化为行阶梯形（上三角矩阵），然后回代求解
- 列主元消去法：在每一步消元前，在当前列的剩余行中选择绝对值最大的元素作为主元，交换到当前行，以减少舍入误差并避免除零
- 浮点精度控制：使用精度阈值
eps = 1e-6判断一个数是否为零，避免浮点数精度问题导致的错误判断
-
关键步骤：
- 读取输入：整数 \(n\)（方程数/变量数），以及 \(n \times (n+1)\) 的增广矩阵
- 前向消元（遍历每一列 \(c\)，维护当前行 \(r\)）：
- 选主元：在剩余行 \([r, n)\) 中找到第 \(c\) 列绝对值最大的行 \(t\)
- 跳过零列：若 \(|a[t][c]| < \text{eps}\)，说明该列全为零，跳过该列
- 交换行：将主元行 \(t\) 交换到当前行 \(r\)
- 归一化：将当前行主元系数化为 \(1\)：
a[r][i] /= a[r][c]（\(i\) 从 \(n\) 倒序到 \(c\)） - 消去下方行：对于下方每一行 \(i\)，若 \(|a[i][c]| > \text{eps}\)，执行：
a[i][j] -= a[r][j] \cdot a[i][c]（\(j\) 从 \(n\) 倒序到 \(c\)） - \(r \mathrel{++}\)
- 判断解的情况：
- 若 \(r < n\)（有效方程数小于变量数）：
- 检查剩余行是否存在矛盾方程（\(0 = \text{非零}\)），若存在则无解
- 否则无穷多解
- 若 \(r = n\)：有唯一解
- 若 \(r < n\)（有效方程数小于变量数）：
- 回代求解（唯一解时，从最后一行倒序向上）：
- 对于第 \(i\) 行，将已求出的 \(x_j\)（\(j > i\)）代入：
a[i][n] -= a[i][j] \cdot a[j][n] - 此时
a[i][n]即为 \(x_i\) 的值
- 对于第 \(i\) 行，将已求出的 \(x_j\)（\(j > i\)）代入：
- 输出结果
-
时间/空间复杂度：
- 时间复杂度：\(O(n^3)\)。前向消元需要进行约 \(n\) 轮，每轮消去 \(O(n)\) 行，每行操作 \(O(n)\) 个元素；回代为 \(O(n^2)\)
- 空间复杂度：\(O(n^2)\)，增广矩阵大小为 \(n \times (n+1)\)
-
高斯消元法的核心思想：
- 初等行变换：高斯消元仅使用三种初等行变换（交换两行、某行乘以非零常数、某行加上另一行的倍数），这些变换不改变方程组的解集
- 阶梯化目标：将系数矩阵化为行阶梯形（上三角形式），使得每个主元下方的元素都为零，从而可以通过回代从最后一个变量开始依次求解
- 列主元策略：选择当前列绝对值最大的元素作为主元，可以有效减少计算过程中的舍入误差（数值稳定性），同时避免主元为零导致的除零错误
- 解的结构判断：
- 唯一解：有效方程数等于变量数，且不存在矛盾
- 无穷多解：有效方程数小于变量数，且不存在矛盾（存在自由变量）
- 无解：出现矛盾方程（\(0 = \text{非零}\)）
- 适用于线性方程组求解、矩阵求逆、行列式计算、线性规划基解等问题
【算法标签】
高斯消元
【代码详解】
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 110; // 最大方程数和变量数
const double eps = 1e-6; // 浮点数精度阈值
int n; // 方程数/变量数
double a[N][N]; // 增广矩阵，a[i][n]存储常数项
/**
* 高斯消元法求解线性方程组
* @return 0:有唯一解, 1:有无穷多解, 2:无解
*/
int gauss()
{
int c, r; // c:当前列, r:当前行
// 遍历每一列进行消元
for (c = 0, r = 0; c < n; c++)
{
int t = r; // 寻找当前列绝对值最大的行
// 在剩余行中寻找当前列绝对值最大的元素
for (int i = r; i < n; i++)
{
if (fabs(a[i][c]) > fabs(a[t][c]))
{
t = i;
}
}
// 如果当前列全为0，跳过该列
if (fabs(a[t][c]) < eps)
{
continue;
}
// 将绝对值最大的行交换到当前行
for (int i = c; i <= n; i++)
{
swap(a[t][i], a[r][i]);
}
// 将当前行的主元系数化为1
for (int i = n; i >= c; i--)
{
a[r][i] /= a[r][c];
}
// 用当前行消去下面行的当前列
for (int i = r + 1; i < n; i++)
{
// 如果该行当前列不为0，进行消元
if (fabs(a[i][c]) > eps)
{
for (int j = n; j >= c; j--)
{
a[i][j] -= a[r][j] * a[i][c];
}
}
}
r++; // 处理下一行
}
// 检查解的情况
if (r < n)
{
// 检查是否存在矛盾方程（0 = 非0）
for (int i = r; i < n; i++)
{
if (fabs(a[i][n]) > eps)
{
return 2; // 无解：存在矛盾方程
}
}
return 1; // 有无穷多解：有效方程数小于变量数
}
// 回代求解
for (int i = n - 1; i >= 0; i--)
{
for (int j = i + 1; j < n; j++)
{
// 将已知的解代入当前方程
a[i][n] -= a[i][j] * a[j][n];
}
}
return 0; // 有唯一解
}
int main()
{
// 输入方程数/变量数
cin >> n;
// 输入增广矩阵
for (int i = 0; i < n; i++)
{
for (int j = 0; j < n + 1; j++)
{
cin >> a[i][j];
}
}
// 调用高斯消元法求解
int t = gauss();
// 输出结果
if (t == 0)
{
// 输出唯一解
for (int i = 0; i < n; i++)
{
printf("%.2lf\n", a[i][n]);
}
}
else if (t == 1)
{
// 输出无穷多解
cout << "Infinite group solutions" << endl;
}
else
{
// 输出无解
cout << "No solution" << endl;
}
return 0;
}
【运行结果】
3
1.00 2.00 -1.00 -6.00
2.00 1.00 -3.00 -9.00
-1.00 -1.00 2.00 7.00
1.00
-2.00
3.00
浙公网安备 33010602011771号