题解：AcWing 876 快速幂求逆元

【题目来源】

AcWing：876 快速幂求逆元 - AcWing题库

【题目描述】

给定 \(n\) 组 \(a_i,p_i\)，其中 \(p_i\) 是质数，求 \(a_i\) 模 \(p_i\) 的乘法逆元，若逆元不存在则输出 impossible。

注意：请返回在 \(0\sim p-1\) 之间的逆元。

【输入】

第一行包含整数 \(n\)。

接下来 \(n\) 行，每行包含一个数组 \(a_i,p_i\)，数据保证 \(p_i\) 是质数。

【输出】

输出共 \(n\) 行，每组数据输出一个结果，每个结果占一行。

若 \(a_i\) 模 \(p_i\) 的乘法逆元存在，则输出一个整数，表示逆元，否则输出 impossible。

【输入样例】

3
4 3
8 5
6 3

【输出样例】

1
2
impossible

【核心思想】

1. 问题分析：给定 \(n\) 组 \((a_i, p_i)\)，其中 \(p_i\) 为质数，求 \(a_i\) 模 \(p_i\) 的乘法逆元。若 \(a_i\) 是 \(p_i\) 的倍数，则逆元不存在。这是一个经典的数论问题，核心在于利用费马小定理将逆元计算转化为快速幂问题。

2. 算法选择：

   • 费马小定理：若 \(p\) 是质数且 \(a\) 不是 \(p\) 的倍数，则 \(a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}\)。两边同乘 \(a^{-1}\) 得 \(a^{p-2} \equiv a^{-1} \pmod{p}\)，即 \(a\) 的逆元为 \(a^{p-2} \bmod p\)
   • 快速幂求模：使用二进制快速幂在 \(O(\log p)\) 时间内计算 \(a^{p-2} \bmod p\)
   • 逆元存在性判断：当且仅当 \(\gcd(a, p) = 1\) 时逆元存在。由于 \(p\) 是质数，只需判断 \(a \bmod p \neq 0\)

3. 关键步骤：

   • 读取输入：整数 \(n\)（查询次数），以及 \(n\) 组 \((a, p)\)
   • 判断逆元是否存在：
     • 若 \(a \bmod p == 0\)，输出 impossible
     • 否则调用 qmi(a, p - 2, p) 计算逆元并输出
   • 快速幂函数 qmi(a, k, p)：
     • 初始化 res = 1
     • 当 \(k > 0\) 时循环：
       • 若 \(k\) 的最低位为 \(1\)：res = res * a % p
       • a = a * a % p
       • k >>= 1
     • 返回 res

4. 时间/空间复杂度：

   • 时间复杂度：\(O(n \cdot \log p_i)\)。单次逆元计算使用快速幂，时间复杂度为 \(O(\log p_i)\)
   • 空间复杂度：\(O(1)\)，仅使用常数额外变量

5. 快速幂求逆元的核心思想：

   • 费马小定理的应用：在模数为质数的条件下，将除法运算转化为乘法运算（乘以逆元），而逆元可以通过幂运算直接求得
   • 快速幂加速：利用二进制快速幂将 \(O(p)\) 的暴力计算降至 \(O(\log p)\)，使大质数模下的逆元计算变得可行
   • 逆元与互质的关系：逆元存在的充要条件是 \(\gcd(a, p) = 1\)。当 \(p\) 为质数时，只要 \(a\) 不是 \(p\) 的倍数，逆元必然存在
   • 与扩展欧几里得算法的对比：费马小定理求逆元要求模数为质数，时间 \(O(\log p)\)；扩展欧几里得算法适用于任意模数，时间 \(O(\log a)\)，但代码稍复杂
   • 适用于模质数下的除法运算、分数取模、组合数计算（如阶乘逆元预处理）等场景

【算法标签】

快速幂

【代码详解】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long LL;  // 定义长整型别名，防止乘法溢出

/**
 * 快速幂算法：计算 a^k mod p
 * @param a 底数
 * @param k 指数
 * @param p 模数
 * @return a^k mod p 的结果
 */
int qmi(int a, int k, int p)
{
    int res = 1;        // 初始化结果为1（乘法单位元）

    // 使用二进制分解指数k
    while (k)
    {
        // 如果当前二进制位为1，将a的当前幂次乘入结果
        if (k & 1)
        {
            res = (LL)res * a % p;  // 使用长整型防止乘法溢出
        }

        // 将a平方，准备处理下一位
        a = (LL)a * a % p;

        // 右移一位，处理下一个二进制位
        k >>= 1;
    }

    return res;
}

int main()
{
    int n;  // 测试用例数量
    scanf("%d", &n);

    // 处理每个测试用例
    while (n--)
    {
        int a, p;  // 输入参数：a为底数，p为模数
        scanf("%d%d", &a, &p);

        // 使用费马小定理计算a在模p下的乘法逆元
        // 逆元 = a^(p-2) mod p
        int res = qmi(a, p - 2, p);

        // 判断逆元是否存在：当且仅当a与p互质（即a不是p的倍数）
        if (a % p)
        {
            // 逆元存在，输出结果
            printf("%d\n", res);
        }
        else
        {
            // 逆元不存在（a是p的倍数）
            puts("impossible");
        }
    }

    return 0;
}

【运行结果】

3
4 3
1
8 5
2
6 3
impossible