题解：AcWing 875 快速幂

【题目来源】

AcWing：875 快速幂 - AcWing题库

【题目描述】

给定 \(n\) 组 \(a_i,b_i,p_i\)，对于每组数据，求出 \(a_i^{b_i} \ mod \ p_i\) 的值。

【输入】

第一行包含整数 \(n\)。

接下来 \(n\) 行，每行包含三个整数 \(a_i,b_i,p_i\)。

【输出】

对于每组数据，输出一个结果，表示 \(a_i^{b_i} \ mod \ p_i\) 的值。

每个结果占一行。

【输入样例】

2
3 2 5
4 3 9

【输出样例】

4
1

【核心思想】

1. 问题分析：给定 \(n\) 组 \((a_i, b_i, p_i)\)，求 \(a_i^{b_i} \bmod p_i\) 的值。若直接进行 \(b_i\) 次乘法，时间复杂度为 \(O(b_i)\)，在指数极大时不可行。这是一个经典的数学问题，核心在于利用快速幂算法（二进制幂）将时间复杂度降至 \(O(\log b_i)\)。

2. 算法选择：

   • 二进制快速幂：将指数 \(b\) 分解为二进制形式 \(b = b_0 \cdot 2^0 + b_1 \cdot 2^1 + b_2 \cdot 2^2 + \cdots\)，则 \(a^b = a^{b_0 \cdot 2^0} \cdot a^{b_1 \cdot 2^1} \cdot a^{b_2 \cdot 2^2} \cdots\)
   • 模运算优化：每次乘法和平方后立即取模，防止数值溢出并满足题目要求
   • 迭代实现：使用循环而非递归，避免栈溢出风险，代码更简洁高效

3. 关键步骤：

   • 读取输入：整数 \(n\)（查询次数），以及 \(n\) 组 \((a, b, p)\)
   • 快速幂函数 qmi(a, k, p)：
     • 初始化 res = 1（任何数的 \(0\) 次幂为 \(1\)）
     • 当 \(k > 0\) 时循环：
       • 若 \(k\) 的最低位为 \(1\)（k & 1）：res = res * a % p，将当前幂次乘入结果
       • a = a * a % p：将底数平方，对应下一位的幂次（\(a^1 \to a^2 \to a^4 \to a^8 \cdots\)）
       • k >>= 1：右移一位，处理下一个二进制位
     • 返回 res
   • 处理每组数据：调用 qmi(a, b, p) 并输出结果

4. 时间/空间复杂度：

   • 时间复杂度：\(O(n \cdot \log b_i)\)。单次快速幂的循环次数等于指数 \(b_i\) 的二进制位数，即 \(O(\log b_i)\)
   • 空间复杂度：\(O(1)\)，仅使用常数额外变量

5. 快速幂的核心思想：

   • 二进制分解：任何正整数都可以唯一表示为若干 \(2\) 的幂次之和。利用这一点，将 \(a^b\) 转化为若干预计算好的 \(a^{2^k}\) 的乘积
   • 平方递推：通过不断对底数平方（\(a \to a^2 \to a^4 \to a^8\)），在 \(O(\log b)\) 步内预计算出所有可能需要的高次幂
   • 按位累乘：根据指数二进制表示中每一位是否为 \(1\)，决定是否将对应的高次幂乘入结果
   • 模运算结合：在乘法过程中立即取模，利用 \((x \cdot y) \bmod p = ((x \bmod p) \cdot (y \bmod p)) \bmod p\) 的性质，确保中间结果不会溢出
   • 适用于大指数模运算、矩阵快速幂、快速幂求逆元等场景

【算法标签】

快速幂

【代码详解】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long LL;  // 定义长整型别名，防止乘法溢出

// 快速幂算法：计算 a^k mod p
int qmi(int a, int k, int p)
{
    int res = 1;  // 初始化结果为1（a^0 = 1）

    // 当指数k不为0时循环
    while (k)
    {
        // 如果当前最低位为1，将a乘入结果
        if (k & 1)
            res = (LL)res * a % p;  // 强制转换为LL防止溢出

        // a平方，准备处理下一位
        a = (LL)a * a % p;  // 强制转换为LL防止溢出

        // 右移一位，处理下一个二进制位
        k >>= 1;
    }
    return res;
}

int main()
{
    int n;  // 查询次数
    scanf("%d", &n);

    // 处理每个查询
    while (n--)
    {
        int a, k, p;  // 底数、指数、模数
        scanf("%d%d%d", &a, &k, &p);

        // 调用快速幂函数并输出结果
        printf("%d\n", qmi(a, k, p));
    }

    return 0;
}

【运行结果】

2
3 2 5
4
4 3 9
1