题解：AtCoder AT_awc0046_e A Walk and Barricades

【题目来源】

AtCoder：E - A Walk and Barricades

【题目描述】

Takahashi is taking a walk on a one-dimensional number line. Initially, Takahashi is at coordinate \(0\).
高桥正在一条一维数轴上散步。初始时，高桥位于坐标 \(0\)。

Takahashi has \(N\) movement plans. Executing the \(i\)-th \((1 \leq i \leq N)\) plan adds \(D_i\) to his current coordinate. \(D_i\) is a non-zero integer; when positive, he moves in the positive direction, and when negative, he moves in the negative direction.
高桥有 \(N\) 个移动计划。执行第 \(i\) 个（\(1 \leq i \leq N\)）计划会将他的当前坐标增加 \(D_i\)。\(D_i\) 是一个非零整数；当为正数时，他向正方向移动；当为负数时，他向负方向移动。

There are \(M\) barricades placed on the number line. The \(j\)-th \((1 \leq j \leq M)\) barricade is at coordinate \(X_j\). When executing a plan moves Takahashi from his current coordinate \(s\) to coordinate \(s + D_i\), if there exists at least one barricade between \(s\) and \(s + D_i\) (inclusive of both endpoints), that is, if there exists an \(X_j\) satisfying \(\min(s,\, s + D_i) \le X_j \le \max(s,\, s + D_i)\), then a collision occurs and the plan cannot be executed.
数轴上放置了 \(M\) 个路障。第 \(j\) 个（\(1 \leq j \leq M\)）路障位于坐标 \(X_j\)。当执行一个计划将高桥从当前坐标 \(s\) 移动到坐标 \(s + D_i\) 时，如果在 \(s\) 和 \(s + D_i\) 之间（包含两端点）存在至少一个路障，也就是说，如果存在一个 \(X_j\) 满足 \(\min(s,\, s + D_i) \le X_j \le \max(s,\, s + D_i)\)，则会发生碰撞，该计划无法执行。

Takahashi considers the plans in order from the \(1\)-st to the \(N\)-th. For each plan, if a collision would occur, he must skip that plan. If no collision would occur, he may freely choose to either execute or skip the plan.
高桥按顺序考虑第 \(1\) 到第 \(N\) 个计划。对于每个计划，如果会发生碰撞，他必须跳过该计划。如果不会发生碰撞，他可以自由选择执行或跳过该计划。

Find the maximum possible coordinate of Takahashi after all plans have been considered.
求在考虑完所有计划后，高桥可能达到的最大坐标。

【输入】

\(N\) \(M\)
\(D_1\) \(D_2\) \(\ldots\) \(D_N\)
\(X_1\) \(X_2\) \(\ldots\) \(X_M\)

• The first line contains the number of plans \(N\) and the number of barricades \(M\), separated by a space.
• The second line contains the coordinate changes \(D_1, D_2, \ldots, D_N\) for each plan, separated by spaces.
• The third line contains the coordinates \(X_1, X_2, \ldots, X_M\) of each barricade, separated by spaces. However, if \(M = 0\), the third line is not given.

【输出】

Print in one line the maximum possible final coordinate of Takahashi when plans are chosen optimally.

【输入样例】

4 2
3 -2 4 -1
2 5

【输出样例】

0

【核心思想】

1. 问题分析：高桥从坐标 \(0\) 出发，依次考虑 \(N\) 个移动计划 \(D_i\)（正数向右，负数向左）。数轴上有 \(M\) 个路障 \(X_j\)，若执行某计划时移动路径（含端点）上存在路障，则必须跳过；否则可自由选择执行或跳过。坐标范围有限（\([-50000, 50000]\)），求最终可达的最大坐标。这是一个bitset 优化 DP问题，将可达坐标集合压缩为二进制位进行批量转移。

2. 算法选择：

   • bitset 状态压缩：用一个长度为坐标范围的 bitset 表示每个坐标是否可达，将 \(O(\text{坐标范围})\) 的集合操作转化为 \(O(\text{坐标范围} / 64)\) 的位运算
   • 阻塞位置预处理：对于每个计划 \(D_i\)，利用路障 bitset 的移位操作，快速标记出所有"从此位置出发会碰撞路障"的起始点

3. 关键步骤：

   • 初始化：
     • 读取 \(N\)、\(M\)、计划数组 \(D[1..N]\)、路障数组 \(X[1..M]\)
     • 建立路障 bitset \(B\)，\(B[X_j + \text{offset}] = 1\)（offset 用于处理负数坐标）
     • 建立可达 bitset \(dp\)，\(dp[0 + \text{offset}] = 1\)
   • 处理每个计划 \(D_i\)：
     • 计算阻塞位置 \(blk\)：
       • 若 \(D_i > 0\)（向右）：对 \(j = 0\) 到 \(D_i\)，执行 \(blk \mathrel{|}= B \gg j\)。含义：若路障在 \(x\)，则从 \(x-j\) 出发向右走 \(D_i\) 会经过该路障（当 \(0 \leq j \leq D_i\) 时）
       • 若 \(D_i < 0\)（向左）：取绝对值后，对 \(j = 0\) 到 \(|D_i|\)，执行 \(blk \mathrel{|}= B \ll j\)
     • 状态转移：\(dp \mathrel{|}= ((dp \mathrel{\&} \sim blk) \ll D_i)\)（向右）或 \(\gg |D_i|\)（向左）
       • \(dp \mathrel{\&} \sim blk\)：筛选出安全的起始位置
       • 移位操作：批量将所有安全起始位置移动到目标位置
       • \(dp \mathrel{|}=\)：更新可达集合（保留之前可达的位置）
   • 输出答案：从大到小遍历坐标，找到 \(dp[\text{pos} + \text{offset}] = 1\) 的最大 pos

4. 时间/空间复杂度：

   • 时间复杂度：\(O(N \cdot (|D_i| + \frac{\text{坐标范围}}{64}))\)。对每个计划，计算阻塞位置需 \(O(|D_i| \cdot \frac{\text{坐标范围}}{64})\)，bitset 移位和或操作需 \(O(\frac{\text{坐标范围}}{64})\)。由于坐标范围固定为 \(10^5\) 级别，可视为 \(O(N \cdot \frac{\text{MAX}}{64})\)
   • 空间复杂度：\(O(\text{坐标范围})\)，即 \(O(\text{MAX})\)，存储路障和可达状态两个 bitset

5. bitset DP 的核心思想：

   • 状态压缩：将一维布尔数组（可达/不可达）压缩为 bitset，使批量状态转移变为位运算，常数极小
   • 阻塞位置快速计算：通过路障 bitset 的多次移位和或运算，一次性标记所有危险起始点，避免对每个坐标单独判断
   • 坐标范围限制：本题坐标被限制在 \([-50000, 50000]\)，使得 bitset 大小固定，保证了算法的可行性
   • 与状压 DP 的关系：本质是 DP 状态为"可达坐标集合"，利用 bitset 将集合的并、移位操作并行化，是状态压缩思想在坐标型 DP 中的经典应用
   • 适用于坐标范围较小、状态为集合且转移为统一位移的 DP 问题

【算法标签】

状压DP

【代码详解】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
const int N = 50005, M = 200005;
int n, m;
int d[N], x[M];

signed main()
{
    cin >> n >> m;  // 输入n和m

    // 读取n个整数到数组d
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        cin >> d[i];
    }

    // 读取m个整数到数组x
    for (int i = 1; i <= m; i++)
    {
        cin >> x[i];
    }

    // 初始化bitset B，用于标记x[i]的存在
    // 偏移N=50005，使得负数索引变为正数
    bitset<M> B;

    // 将所有x[i]在[-50000, 50000]范围内的值标记在B中
    for (int i = 1; i <= m; i++)
    {
        if (-50000 <= x[i] && x[i] <= 50000)
        {
            B.set(x[i] + N);  // 设置对应位置为1
        }
    }

    // dp bitset，dp[i]表示是否能到达位置i
    // 初始位置设为0，偏移N
    bitset<M> dp;
    dp.set(N);  // dp[N]表示位置0

    // 动态规划：处理每个d[i]
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        bitset<M> blk;  // 阻塞位置集合

        if (d[i] > 0)  // 如果d[i]为正数，向右移动
        {
            // 计算阻塞位置：对于每个j∈[0,d[i]]，B右移j位的位置都是阻塞的
            for (int j = 0; j <= d[i]; j++)
            {
                blk |= B >> j;  // 将B右移j位后的阻塞位置合并
            }

            // 状态转移：从可到达且不阻塞的位置向右移动d[i]位
            dp |= ((dp & ~blk) << d[i]);
        }
        else  // 如果d[i]为负数，向左移动
        {
            d[i] *= -1;  // 取绝对值

            // 计算阻塞位置：对于每个j∈[0,d[i]]，B左移j位的位置都是阻塞的
            for (int j = 0; j <= d[i]; j++)
            {
                blk |= B << j;  // 将B左移j位后的阻塞位置合并
            }

            // 状态转移：从可到达且不阻塞的位置向左移动d[i]位
            dp |= ((dp & ~blk) >> d[i]);
        }
    }

    // 寻找最大可达位置
    int ans = 0;
    for (int i = -50000; i <= 50000; i++)
    {
        if (dp[i + N])  // 如果位置i可达
        {
            ans = i;  // 更新答案
        }
    }

    cout << ans << endl;  // 输出最大可达位置
    return 0;
}

【运行结果】

4 2
3 -2 4 -1
2 5
0