题解：学而思编程 汽车变速

【题目来源】

学而思编程：汽车变速

【题目描述】

小猴开着车通过某路段。路段的入口和出口设有测速装置，它们测量出，汽车在起点速度为 \(v_1\)​ 米/秒，终点速度为 \(v_2\)​ 米/秒，还知道小猴通过这段路用了 \(t\) 秒。

假设每秒内的速度恒定，在每秒之间，小猴可以改变汽车速度，但是由于汽车性能的限制，新的速度与之前速度的差值不能超过 \(d\)。

求这个路段的最大可能长度，单位为米。

【输入】

第一行包含两个整数 \(v_1\)​ 和 \(v_2\)​ 。

第二行包含两个整数 \(t\) 和 \(d\) 。

数据保证一定有解。

【输出】

仅有一个数，表示以米为单位的路段最大可能长度。

【输入样例】

5 6
4 2

【输出样例】

26

【核心思想】

1. 问题分析：给定初始速度 \(v_1\)、终点速度 \(v_2\)、总时间 \(t\) 和每秒最大速度变化量 \(d\)。每秒内速度恒定，每秒之间速度变化不超过 \(d\)。求路段的最大可能长度。这是一个线性动态规划问题，关键在于在速度变化约束下，最大化每秒行驶距离之和。

2. 算法选择：

   • 动态规划（DP）：f[i][j] 表示第 \(i\) 秒速度为 \(j\) 时，前 \(i\) 秒走过的最大总路程
   • 状态转移：枚举前一秒的速度 \(k\)，在速度变化允许范围内更新当前状态

3. 关键步骤：

   • 状态定义：f[i][j] 表示第 \(i\) 秒速度为 \(j\) 时，前 \(i\) 秒的最大总路程
   • 初始化：memset(f, -0x3f, sizeof(f))，`f[1][v_1] = v_1$（第一秒速度为 \(v_1\)，路程为 \(v_1\)）
   • 状态转移（枚举时间 \(i\) 从 \(2\) 到 \(t\)）：
     • 枚举第 \(i\) 秒的速度 \(j\)（范围 \([0, v_1 + (i-1) \times d]\)）
     • 枚举第 \(i-1\) 秒的速度 \(k\)（范围 \([\max(0, j-d), j+d]\)）
     • f[i][j] = \max(f[i][j], f[i-1][k] + j)
   • 结果：f[t][v_2]（第 \(t\) 秒速度恰好为 \(v_2\) 时的最大总路程）

4. 时间/空间复杂度：

   • 时间复杂度：\(O(t \cdot V \cdot d)\)，其中 \(V = v_1 + (t-1) \cdot d\) 为最大可能速度。具体为三重循环：时间 \(t\)、速度 \(V\)、速度变化范围 \(2d+1\)
   • 空间复杂度：\(O(t \cdot V)\)，二维 DP 数组

5. 线性DP的核心思想：

   • 按时间线性递推：以时间为阶段，每一秒的状态只与前一秒有关
   • 速度作为第二维状态：将速度约束转化为状态维度，确保每秒速度变化不超过 \(d\)
   • 最大化路径和：每秒贡献当前速度值 \(j\)，通过 DP 累加求最大总路程
   • 边界条件处理：初始速度固定为 \(v_1\)，终止速度固定为 \(v_2\)
   • 适用于带约束的序列最优化问题

【算法标签】

线性DP-一维

【代码详解】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

// ================= 常量与全局变量 =================

const int N = 105;       // 最大时间步数
const int M = 1105;      // 最大速度值

int v1;                  // 初始速度
int v2;                  // 最终速度
int t;                   // 总时间
int d;                   // 每秒钟速度的最大变化量

int f[N][M];             // 动态规划数组
                         // f[i][j] 表示第 i 秒速度为 j 时，前 i 秒走过的最大总路程

// ================= 主函数 =================
int main()
{
    // 读取初始速度、最终速度、总时间和最大加速度
    cin >> v1 >> v2 >> t >> d;

    // 初始化 dp 数组为极小值
    memset(f, -0x3f, sizeof(f));

    // 边界条件：第 1 秒速度为 v1，路程为 v1
    f[1][v1] = v1;

    // 动态规划递推
    for (int i = 2; i <= t; i++)            // 枚举时间步
    {
        // 第 i 秒的可能速度范围：[0, v1 + (i-1)*d]
        for (int j = 0; j <= v1 + (i - 1) * d; j++)
        {
            // 第 i-1 秒的速度 k 必须在 [j-d, j+d] 范围内
            // 即速度变化不能超过 d
            for (int k = max(0, j - d); k <= j + d; k++)
            {
                // 转移：前 i-1 秒的路程 + 第 i 秒的路程 j
                f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][k] + j);
            }
        }
    }

    // 输出第 t 秒速度为 v2 时的最大总路程
    cout << f[t][v2];

    return 0;
}

【运行结果】

5 6
4 2
26