题解：AcWing 456 车站分级
【题目来源】
AcWing：456. 车站分级 - AcWing题库
【题目描述】
一条单向的铁路线上，依次有编号为 \(1, 2, …, n\) 的 \(n\) 个火车站。
每个火车站都有一个级别，最低为 \(1\) 级。
现有若干趟车次在这条线路上行驶，每一趟都满足如下要求：如果这趟车次停靠了火车站 \(x\)，则始发站、终点站之间所有级别大于等于火车站 \(x\) 的都必须停靠。（注意：起始站和终点站自然也算作事先已知需要停靠的站点）
例如，下表是 \(5\) 趟车次的运行情况。
其中，前 \(4\) 趟车次均满足要求，而第 \(5\) 趟车次由于停靠了 \(3\) 号火车站（\(2\) 级）却未停靠途经的 \(6\) 号火车站（亦为 \(2\) 级）而不满足要求。
现有 \(m\) 趟车次的运行情况（全部满足要求），试推算这 \(n\) 个火车站至少分为几个不同的级别。
【输入】
第一行包含 \(2\) 个正整数 \(n,m\)，用一个空格隔开。
第 \(i+1\) 行（\(1≤i≤m\)）中，首先是一个正整数 \(s_i\)（\(2≤s_i≤n\)），表示第 \(i\) 趟车次有 \(s_i\) 个停靠站；接下来有 \(s_i\) 个正整数，表示所有停靠站的编号，从小到大排列。
每两个数之间用一个空格隔开。输入保证所有的车次都满足要求。
【输出】
输出只有一行，包含一个正整数，即 \(n\) 个火车站最少划分的级别数。
【输入样例】
9 3
4 1 3 5 6
3 3 5 6
3 1 5 9
【输出样例】
3
【核心思想】
-
问题分析：给定 \(n\) 个车站和 \(m\) 趟车次的停靠情况，每趟车次满足：如果停靠了车站 \(x\)，则区间内的所有级别大于等于 \(x\) 的车站都必须停靠。需要求最少需要几个不同的级别。这是一个拓扑排序求最长路问题，关键在于根据停靠关系建立级别大小的约束图。
-
算法选择：
- 约束分析：对于每趟车次，在途经区间 \([start, end]\) 内，停靠的站级别高，没停靠的站级别低
- 建图优化：使用虚拟节点减少边数
- 虚拟节点 \(vir = n + i\) 代表第 \(i\) 趟车次
- 没停靠的站 \(j \rightarrow vir\)（权值 \(0\)）：表示 \(j\) 的级别 \(\leq\) 车次代表的级别
- \(vir \rightarrow\) 停靠的站 \(j\)（权值 \(1\)）：表示车次代表的级别 \(< j\) 的级别
- 拓扑排序：求最长路，最长链的长度即为最少级别数
-
关键步骤：
- 读取输入：\(n\)（车站数）、\(m\)（车次数）
- 初始化：邻接表、入度数组、层级数组
- 处理每个车次（\(i\) 从 \(1\) 到 \(m\)）：
- 读取停靠站，标记
st[stop] = true - 确定途经区间 \([start, end]\)
- 创建虚拟节点 \(vir = n + i\)
- 遍历区间 \([start, end]\)：
- 若 \(j\) 没停靠：
add(j, vir, 0) - 若 \(j\) 停靠：
add(vir, j, 1)
- 若 \(j\) 没停靠：
- 读取停靠站，标记
- 拓扑排序求最长路：
- 初始化所有节点层级为 \(1\)
- 入度为 \(0\) 的节点入队
- BFS：更新邻接节点层级
lvl[j] = max(lvl[j], lvl[u] + w)
- 计算答案：在所有原站点中取最大层级
- 输出结果：最少级别数 \(ans\)
-
时间/空间复杂度：
- 时间复杂度：\(O(n + m + \sum s_i)\)，其中 \(s_i\) 是第 \(i\) 趟车次的站点数
- 空间复杂度：\(O(n + m + \sum s_i)\)，存储图结构
-
拓扑排序求最长路的核心思想：
- 约束建图：将级别大小关系转化为有向边，级别低的指向级别高的
- 虚拟节点优化：避免没停靠站向所有停靠站连边，通过虚拟节点将边数从 \(O(s_i^2)\) 降为 \(O(s_i)\)
- 最长路性质：DAG 中最长链的长度即为最少需要的级别数（可以类比染色问题）
- 拓扑排序：利用 DAG 的拓扑序，动态规划求最长路
- 适用于约束满足、层级划分、最小染色等问题
【算法标签】
拓扑排序
【代码详解】
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
// ================= 常量与全局变量 =================
const int N = 2005; // 最大节点数（原站点 + 虚拟节点）
const int M = 1000005; // 最大边数
int n; // 站点数量（原图节点数）
int m; // 车次数量
int ans; // 最终答案
int h[N]; // 邻接表头结点
int e[M]; // 边的终点
int ne[M]; // 下一条边的索引
int w[M]; // 边的权值
int idx; // 边的计数器
int lvl[N]; // 每个节点的层级（拓扑排序后得到的最长路距离）
int ind[N]; // 每个节点的入度
int dist[N]; // 未使用的数组（保留原样）
bool st[N]; // 标记站点是否在当前车次中停靠
queue<int> q; // 拓扑排序队列
// ================= 添加有向边 =================
void add(int a, int b, int c)
{
e[idx] = b; // 边的终点
ne[idx] = h[a]; // 头插法
w[idx] = c; // 边的权值
h[a] = idx++; // 更新头结点
ind[b]++; // 终点入度加 1
}
// ================= 拓扑排序求最长路 =================
void topsort()
{
// 初始化所有站点的层级为 1
for (int i = 1; i <= n; i++)
lvl[i] = 1;
// 将所有入度为 0 的节点入队（包括原站点和虚拟节点）
for (int i = 1; i <= n + m; i++)
if (ind[i] == 0)
q.push(i);
// BFS 拓扑排序
while (!q.empty())
{
int u = q.front();
q.pop();
// 遍历 u 的所有邻接边
for (int i = h[u]; i != -1; i = ne[i])
{
int j = e[i]; // 邻接节点
lvl[j] = max(lvl[j], lvl[u] + w[i]); // 更新最长路距离
if (--ind[j] == 0) // 入度减为 0 时入队
q.push(j);
}
}
}
// ================= 主函数 =================
int main()
{
// 读取站点数和车次数
cin >> n >> m;
// 初始化邻接表头结点为 -1
memset(h, -1, sizeof(h));
// 处理每个车次
for (int i = 1; i <= m; i++)
{
// 重置标记数组
memset(st, 0, sizeof(st));
int cnt; // 当前车次停靠的站点数
cin >> cnt;
int start = n; // 当前车次途经的最小站点编号
int end = 1; // 当前车次途经的最大站点编号
// 读取当前车次停靠的所有站点
while (cnt--)
{
int stop;
cin >> stop;
start = min(start, stop); // 更新最小站点编号
end = max(end, stop); // 更新最大站点编号
st[stop] = true; // 标记该站点停靠
}
// 创建虚拟节点 vir = n + i
int vir = n + i;
// 在 [start, end] 范围内建边
for (int j = start; j <= end; j++)
{
if (!st[j]) // 不停靠的站点
add(j, vir, 0); // 从站点指向虚拟节点，权值为 0
else // 停靠的站点
add(vir, j, 1); // 从虚拟节点指向站点，权值为 1
}
}
// 执行拓扑排序求最长路
topsort();
// 在所有原站点中取最大层级作为答案
for (int i = 1; i <= n; i++)
ans = max(ans, lvl[i]);
// 输出结果
cout << ans << endl;
return 0;
}
【运行结果】
9 3
4 1 3 5 6
3 3 5 6
3 1 5 9
3
浙公网安备 33010602011771号