题解：学而思编程买一送一

【题目来源】

学而思编程：买一送一

【题目描述】

小明去一个比萨店买比萨。

店里有 \(n\) 种比萨出售，第 \(i\) 种的价格为 \(p_i\) 元，美味度为 \(d_i\)。比萨店正在开业酬宾，每购买 \(1\) 个比萨，就可以免费获得一个售价更小的比萨。

于是小明重复以下购买比萨的过程：

（1）选择一个比萨（假设是第 \(i\) 种），花费 \(p_i\) 元购买第 \(i\) 种比萨。

（2）从价格小于 \(p_i\) 元的比萨中选择一个，免费获得这个比萨。

小明只有 \(K\) 元，通过合理选择每次购买和免费获得的比萨，他最多可以得到的最大美味度的总和是多少？

【输入】

第 \(1\) 行，两个正整数 \(n,K\)

接下来 \(n\) 行，每行 \(2\) 个正整数 \(p_i,d_i\)，表示第 \(i\) 种比萨的价格和美味度

【输出】

\(1\) 个整数，美味度总和的最大值

【输入样例】

【输出样例】

【核心思想】

问题分析：给定 \(n\) 种比萨，每种有价格 \(p_i\) 和美味度 \(d_i\)，预算 \(K\) 元。每次购买一个比萨可以免费获得一个价格更小的比萨。目标是最大化总美味度。这是一个完全背包变体问题：每次购买比萨 \(i\) 时，除了获得 \(d_i\) 的美味度，还能免费获得价格小于 \(p_i\) 的比萨中美味度最大的那个。
算法选择：
- 排序预处理：按价格升序排序，价格相同则按美味度降序
- 预处理 maxd 数组：\(maxd[i]\) 表示价格小于 \(a[i].p\) 的物品中的最大美味度
- 完全背包动态规划：每种比萨可以无限次购买，但每次购买的实际收益为 \(d_i + maxd[i]\)
关键步骤：
- Step 1 - 排序：
  - 按价格 \(p_i\) 升序排序，价格相同则按美味度 \(d_i\) 降序
  - 这样处理后，对于任意物品 \(i\)，价格小于它的物品都在它前面
- Step 2 - 预处理 maxd 数组：
  - 对于每个物品 \(i\)，遍历所有 \(j < i\) 且 \(a[j].p < a[i].p\) 的物品
  - \(maxd[i] = \max(maxd[i], a[j].d)\)，即价格小于 \(a[i].p\) 的物品中的最大美味度
- Step 3 - 完全背包 DP：
  - 状态定义：\(f[i][j]\) 表示考虑前 \(i\) 种物品，花费恰好为 \(j\) 时的最大美味度
  - 不选第 \(i\) 种比萨：\(f[i][j] = f[i-1][j]\)
  - 选第 \(i\) 种比萨（完全背包）：若 \(j \geq a[i].p\)，则 \(f[i][j] = \max(f[i][j], f[i][j-a[i].p] + a[i].d + maxd[i])\)
  - 注意：每次购买的收益是 \(d_i + maxd[i]\)（购买的美味度 + 免费赠送的美味度）
- Step 4 - 统计答案：
  - 答案为所有 \(j \leq K\) 中 \(f[n][j]\) 的最大值
  - ans = max(ans, f[n][j]) 对于 \(j \in [0, K]\)
时间/空间复杂度：
- 时间复杂度：\(O(n^2 + n \times K)\)，排序 \(O(n \log n)\)，预处理 \(maxd\) 数组 \(O(n^2)\)，完全背包 \(O(n \times K)\)
- 空间复杂度：\(O(n \times K)\)，二维DP数组；可优化至 \(O(K)\) 使用一维数组
完全背包变体的核心思想：
- 问题转化：将"买一送一"的优惠转化为每次购买的实际收益 = 购买物品价值 + 赠送物品价值
- 排序策略：按价格排序后，价格小于当前物品的所有物品都在前面，便于预处理
- 预处理技巧：\(maxd[i]\) 数组预处理出每个价格档位能免费获得的最大美味度，避免DP过程中重复计算
- 状态转移：完全背包的标准转移，但价值计算时加上 \(maxd[i]\) 体现赠送优惠
- 答案处理：在预算范围内取最大值，不同于标准背包的恰好装满
- 适用于带优惠策略的背包问题、组合购买优化类问题

【算法标签】

完全背包

【代码详解】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

// ================= 常量与全局变量 =================

const int N = 305;       // 最大物品数量
const int M = 10005;     // 最大容量（预算上限）

int n;                   // 物品数量
int k;                   // 预算上限
int ans;                 // 最终答案

// 物品结构体
struct Node
{
    int p;               // 价格
    int d;               // 价值（满意度）
} a[N];

int f[N][M];             // 动态规划数组
                         // f[i][j] 表示考虑前 i 个物品，花费恰好为 j 时的最大价值

int maxd[N];             // maxd[i] 表示在价格小于 a[i].p 的物品中，最大的价值

// ================= 排序比较函数 =================
bool cmp(Node x, Node y)
{
    if (x.p != y.p)          // 先按价格升序排序
        return x.p < y.p;
    return x.d > y.d;        // 价格相同时，按价值降序排序
}

// ================= 主函数 =================
int main()
{
    // 读取物品数量和预算上限
    cin >> n >> k;

    // 读取每个物品的价格和价值
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        cin >> a[i].p >> a[i].d;

    // 按价格升序、价值降序排序
    sort(a + 1, a + n + 1, cmp);

    // 预处理 maxd 数组
    // 对于每个物品 i，找到价格比它小的物品中的最大价值
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        for (int j = 1; j < i; j++)
            if (a[j].p < a[i].p)
                maxd[i] = max(maxd[i], a[j].d);

    // 初始化边界条件
    f[0][0] = 0;

    // 完全背包 DP
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        for (int j = 0; j <= k; j++)
        {
            // 不选第 i 个物品
            f[i][j] = f[i - 1][j];

            // 选第 i 个物品（完全背包，可重复选择）
            if (j >= a[i].p)
            {
                // 价值 = 当前物品的价值 + 价格更低物品中的最大价值
                f[i][j] = max(f[i][j], f[i][j - a[i].p] + a[i].d + maxd[i]);
            }
        }
    }

    // 统计答案：在所有花费不超过预算的状态中取最大价值
    for (int j = 0; j <= k; j++)
        ans = max(ans, f[n][j]);

    // 输出结果
    cout << ans << endl;

    return 0;
}

【运行结果】

posted @ 2026-06-17 09:28 团爸讲算法阅读(7) 评论(0) 收藏举报

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完全背包

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