题解：学而思编程 vs怪物5

【题目来源】

学而思编程：vs怪物5

【题目描述】

Toki在和一只怪物战斗，怪物的体力是 \(H\)。

Toki可以使用 \(N\) 种魔法，使用一次第 \(i\) 种魔法可以减少怪物 \(a_i\) ​点体力，需要消耗 \(b_i\) ​点魔法值。魔法的使用次数没有任何限制。

通过使用魔法，让怪物体力减少到小于等于 \(0\) 点，Toki最少需要消耗多少魔法值？

【输入】

第 \(1\) 行，\(2\) 个正整数 \(H,N\)

接下来 \(N\) 行，每行两个正整数 \(a_i,b_i\)​

【输出】

输出一个整数，需要的最少魔法值。

【输入样例】

9 3
8 3
4 2
2 1

【输出样例】

4

【核心思想】

1. 问题分析：给定怪物体力 \(H\) 和 \(N\) 种魔法，每种魔法可减少 \(a_i\) 点体力并消耗 \(b_i\) 点魔法值，魔法使用次数无限制。目标是使怪物体力 \(\leq 0\) 的最小魔法值消耗。这是一个完全背包问题：将魔法视为物品，\(a_i\) 为"体积"（减少的体力），\(b_i\) 为"代价"（消耗的魔法值），求达到至少 \(H\) "体积"的最小代价。

2. 算法选择：

   • 完全背包动态规划：每种物品（魔法）可以无限次选取
   • 二维DP状态：\(f[i][j]\) 表示考虑前 \(i\) 种魔法，总减少体力恰好为 \(j\) 时的最小魔法值消耗
   • 状态压缩优化：可以使用一维数组优化空间

3. 关键步骤：

   • Step 1 - 初始化：

     • 读取 \(H\)（目标体力）和 \(n\)（魔法种类数）
     • 读取每种魔法的 \(a_i\)（减少体力）和 \(b_i\)（消耗魔法值）
     • 初始化 DP 数组为无穷大，memset(f, 0x3f, sizeof(f))
     • 边界条件：\(f[0][0] = 0\)（前0种魔法，减少0体力，消耗0魔法值）

   • Step 2 - 完全背包DP：

     • 遍历每种魔法 \(i\) 从 \(1\) 到 \(n\)
     • 遍历总减少体力 \(j\) 从 \(0\) 到 \(M\)（\(M\) 为足够大的上限，如 \(15000\)）
     • 不选第 \(i\) 种魔法：\(f[i][j] = f[i-1][j]\)
     • 选第 \(i\) 种魔法（完全背包，可重复）：若 \(j \geq a_i\)，则 \(f[i][j] = \min(f[i][j], f[i][j-a_i] + b_i])\)
     • 注意：完全背包使用 \(f[i][j-a_i]\) 而非 \(f[i-1][j-a_i]\)，表示可以重复选取

   • Step 3 - 统计答案：

     • 答案为所有 \(j \geq H\) 中 \(f[n][j]\) 的最小值
     • ans = min(ans, f[n][j]) 对于 \(j \in [H, M)\)

   • Step 4 - 输出结果：

     • 输出最小魔法值消耗 \(ans\)

4. 时间/空间复杂度：

   • 时间复杂度：\(O(N \times M)\)，其中 \(M\) 为DP数组的第二维上限（约 \(15000\)）
   • 空间复杂度：\(O(N \times M)\)，二维DP数组；可优化至 \(O(M)\) 使用一维数组

5. 完全背包的核心思想：

   • 问题转化：将"减少体力"视为背包容量，"消耗魔法值"为物品代价，求达到目标容量的最小代价
   • 状态定义：\(f[i][j]\) 表示前 \(i\) 种物品，恰好装满容量 \(j\) 的最小代价
   • 状态转移：完全背包与01背包的区别在于使用 \(f[i][j-a_i]\) 而非 \(f[i-1][j-a_i]\)，允许同一物品重复选取
   • 答案处理：由于要求怪物体力 \(\leq 0\)，需要在所有 \(j \geq H\) 的状态中取最小值，而非恰好 \(j = H\)
   • 空间优化：可以使用滚动数组将空间复杂度降至 \(O(M)\)
   • 适用于资源分配、成本优化、无限选取类问题

【算法标签】

完全背包

【代码详解】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

// ================= 常量与全局变量 =================

const int N = 1005;          // 最大魔法种类数
const int M = 15005;         // 最大体力上限（足够覆盖 H 的范围）
const int INF = 1e9;         // 无穷大常量

int H;                       // 怪物的初始体力
int n;                       // 魔法种类数量

int a[N];                    // 每种魔法减少的体力值
int b[N];                    // 每种魔法消耗的魔法值

int f[N][M];                 // 动态规划数组
                             // f[i][j] 表示使用前 i 种魔法，造成恰好 j 点伤害时的最小魔法值消耗

// ================= 主函数 =================
int main()
{
    // 读取怪物体力和魔法种类数
    cin >> H >> n;

    // 读取每种魔法的伤害和消耗
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        cin >> a[i] >> b[i];

    // 初始化 dp 数组为无穷大
    memset(f, 0x3f, sizeof(f));

    // 边界条件：使用 0 种魔法，造成 0 点伤害时，消耗为 0
    f[0][0] = 0;

    // 完全背包 DP
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        for (int j = 0; j < M; j++)
        {
            // 不使用第 i 种魔法
            f[i][j] = f[i - 1][j];

            // 使用第 i 种魔法（完全背包，可重复使用）
            if (j >= a[i])
                f[i][j] = min(f[i][j], f[i][j - a[i]] + b[i]);
        }
    }

    // 统计答案：在所有造成伤害 ≥ H 的状态中取最小消耗
    int ans = INF;
    for (int j = H; j < M; j++)
        ans = min(ans, f[n][j]);

    // 输出最少魔法值消耗
    cout << ans << endl;

    return 0;
}

【运行结果】

9 3
8 3
4 2
2 1
4