题解：AcWing 858 Prim算法求最小生成树

【题目来源】

AcWing：858 Prim算法求最小生成树 - AcWing题库

【题目描述】

给定一个 \(n\) 个点 \(m\) 条边的无向图，图中可能存在重边和自环，边权可能为负数。

求最小生成树的树边权重之和，如果最小生成树不存在则输出 impossible。

给定一张边带权的无向图 \(G=(V,E)\)，其中 \(V\) 表示图中点的集合，\(E\) 表示图中边的集合，\(n=|V|\)，\(m=|E|\)。

由 \(V\) 中的全部 \(n\) 个顶点和 \(E\) 中 \(n-1\) 条边构成的无向连通子图被称为 \(G\) 的一棵生成树，其中边的权值之和最小的生成树被称为无向图 \(G\) 的最小生成树。

【输入】

第一行包含两个整数 \(n\) 和 \(m\)。

接下来 \(m\) 行，每行包含三个整数 \(u,v,w\)，表示点 \(u\) 和点 \(v\) 之间存在一条权值为 \(w\) 的边。

【输出】

共一行，若存在最小生成树，则输出一个整数，表示最小生成树的树边权重之和，如果最小生成树不存在则输出 impossible。

【输入样例】

【输出样例】

【核心思想】

问题分析：给定无向图 \(G=(V,E)\)，其中 \(|V|=n\)，\(|E|=m\)，边权可能为负数，图中可能存在重边和自环。需要求最小生成树的树边权重之和，若图不连通则输出 impossible。这是一个最小生成树（MST）问题，可以使用 Prim 算法求解。
算法选择：
- Prim 算法（朴素版）：从单个节点开始，逐步扩展生成树，每次选择距离当前生成树最近的节点加入
- 贪心策略：每次选择权值最小的边连接生成树内外的节点，保证局部最优达到全局最优
- 邻接矩阵存储：适用于稠密图，空间复杂度 \(O(n^2)\)
- 距离数组 \(dist[]\)：\(dist[i]\) 表示节点 \(i\) 到当前生成树的最小距离（即连接生成树的最小边权）
- 标记数组 \(st[]\)：标记节点是否已加入最小生成树
关键步骤：
- 初始化：
  - 读取 \(n\)（节点数）、\(m\)（边数）
  - 初始化邻接矩阵 \(g[i][j] = INF\)，处理重边时取最小值 g[a][b] = g[b][a] = min(g[a][b], c)
  - 初始化距离数组 \(dist[i] = INF\)，标记数组 \(st[i] = false\)
- Prim 主循环（循环 \(n\) 次，每次加入一个节点）：
  - 找最小节点：在未加入生成树的节点中，找到 \(dist\) 值最小的节点 \(t\)
  - 连通性判断：若 \(i > 0\) 且 \(dist[t] == INF\)，说明图不连通，返回 impossible
  - 累加答案：若 \(i > 0\)，将 \(dist[t]\) 加入总权重 \(res\)
  - 更新距离：用新加入的节点 \(t\) 更新其他节点到生成树的最小距离：dist[j] = min(dist[j], g[t][j])
  - 标记加入：\(st[t] = true\)
- 返回结果：输出最小生成树总权重 \(res\)
时间/空间复杂度：
- 时间复杂度：\(O(n^2)\)，每次找最小节点 \(O(n)\)，更新距离 \(O(n)\)，共 \(n\) 轮
- 空间复杂度：\(O(n^2)\)，邻接矩阵存储
- 适用于稠密图（\(m\) 接近 \(n^2\)），稀疏图建议使用 Kruskal 算法
Prim 算法的核心思想：
- 贪心策略：每次选择权值最小的边连接生成树内外的节点，保证全局最优
- 集合扩展：从一个节点开始，逐步将距离生成树最近的节点加入，直到包含所有节点
- 距离维护：\(dist[i]\) 始终维护节点 \(i\) 到当前生成树的最小连接边权
- 稠密图优势：使用邻接矩阵时，Prim 算法在稠密图上效率高于 Kruskal
- 正确性证明：基于割性质，最小生成树必然包含连接割两侧的最小权边
- 适用于稠密图、需要逐步构建生成树的场景

【解题思路】

【算法标签】

生成树

【代码详解】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 510;        // 最大节点数
const int INF = 0x3f3f3f3f; // 无穷大值

int n;                     // 节点数量
int m;                     // 边数量
int g[N][N];              // 邻接矩阵存储图
int dist[N];              // 存储当前生成树到各节点的最小距离
bool st[N];               // 标记节点是否已加入最小生成树

/**
 * Prim算法：求解无向连通图的最小生成树
 * @return 最小生成树的总权重，INF表示图不连通
 */
int prim()
{
    // 初始化距离数组为无穷大
    memset(dist, 0x3f, sizeof(dist));

    int res = 0;           // 存储最小生成树的总权重

    // 循环n次，每次加入一个节点到生成树
    for (int i = 0; i < n; i++)
    {
        int t = -1;        // 用于记录当前距离最小的节点

        // 在所有未加入生成树的节点中，找到距离最小的节点
        for (int j = 1; j <= n; j++)
        {
            if (!st[j] && (t == -1 || dist[t] > dist[j]))
            {
                t = j;
            }
        }

        // 如果不是第一个节点（i>0）且最小距离为无穷大，说明图不连通
        if (i && dist[t] == INF)
        {
            return INF;    // 图不连通，无法生成最小生成树
        }

        // 如果不是第一个节点，将当前边的权重加入总结果
        if (i)
        {
            res += dist[t];
        }

        // 用新加入的节点t更新其他节点到生成树的最小距离
        for (int j = 1; j <= n; j++)
        {
            dist[j] = min(dist[j], g[t][j]);
        }

        // 标记节点t已加入最小生成树
        st[t] = true;
    }

    return res;
}

int main()
{
    // 输入节点数和边数
    scanf("%d%d", &n, &m);

    // 初始化邻接矩阵为无穷大（表示不可达）
    memset(g, 0x3f, sizeof(g));

    // 输入所有边的信息
    while (m--)
    {
        int a, b, c;
        scanf("%d%d%d", &a, &b, &c);

        // 无向图，双向设置权重，并处理重边（取最小值）
        g[a][b] = g[b][a] = min(g[a][b], c);
    }

    // 调用Prim算法计算最小生成树
    int t = prim();

    // 输出结果
    if (t == INF)
    {
        // 图不连通，无法生成最小生成树
        puts("impossible");
    }
    else
    {
        // 输出最小生成树的总权重
        printf("%d\n", t);
    }

    return 0;
}

【运行结果】

posted @ 2026-06-16 10:15 团爸讲算法阅读(10) 评论(0) 收藏举报

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