题解：AcWing 1048 鸡蛋的硬度

【题目来源】

AcWing：1048 鸡蛋的硬度 - AcWing题库

【题目描述】

最近XX公司举办了一个奇怪的比赛：鸡蛋硬度之王争霸赛。

参赛者是来自世界各地的母鸡，比赛的内容是看谁下的蛋最硬，更奇怪的是XX公司并不使用什么精密仪器来测量蛋的硬度，他们采用了一种最老土的办法–从高度扔鸡蛋–来测试鸡蛋的硬度，如果一次母鸡下的蛋从高楼的第 \(a\) 层摔下来没摔破，但是从 \(a+1\) 层摔下来时摔破了，那么就说这只母鸡的鸡蛋的硬度是a。

你当然可以找出各种理由说明这种方法不科学，比如同一只母鸡下的蛋硬度可能不一样等等，但是这不影响XX公司的争霸赛，因为他们只是为了吸引大家的眼球，一个个鸡蛋从 \(100\) 层的高楼上掉下来的时候，这情景还是能吸引很多人驻足观看的，当然，XX公司也绝不会忘记在高楼上挂一条幅，写上“XX公司”的字样–这比赛不过是XX公司的一个另类广告而已。

勤于思考的小A总是能从一件事情中发现一个数学问题，这件事也不例外。

“假如有很多同样硬度的鸡蛋，那么我可以用二分的办法用最少的次数测出鸡蛋的硬度”，小A对自己的这个结论感到很满意，不过很快麻烦来了，“但是，假如我的鸡蛋不够用呢，比如我只有 \(1\) 个鸡蛋，那么我就不得不从第 \(1\) 层楼开始一层一层的扔，最坏情况下我要扔 \(100\) 次。如果有 \(2\) 个鸡蛋，那么就从 \(2\) 层楼开始的地方扔……等等，不对，好像应该从 \(1/3\) 的地方开始扔才对，嗯，好像也不一定啊……\(3\) 个鸡蛋怎么办，\(4\) 个，\(5\) 个，更多呢……”，和往常一样，小A又陷入了一个思维僵局，与其说他是勤于思考，不如说他是喜欢自找麻烦。

好吧，既然麻烦来了，就得有人去解决，小A的麻烦就靠你来解决了。

【输入】

输入包括多组数据，每组数据一行，包含两个正整数 \(n\) 和 \(m\)，其中 \(n\) 表示楼的高度，\(m\) 表示你现在拥有的鸡蛋个数，这些鸡蛋硬度相同（即它们从同样高的地方掉下来要么都摔碎要么都不碎），并且小于等于 \(n\)。

你可以假定硬度为 \(x\) 的鸡蛋从高度小于等于 \(x\) 的地方摔无论如何都不会碎（没摔碎的鸡蛋可以继续使用），而只要从比 \(x\) 高的地方扔必然会碎。

对每组输入数据，你可以假定鸡蛋的硬度在 \(0\) 至 \(n\) 之间，即在 \(n+1\) 层扔鸡蛋一定会碎。

【输出】

对于每一组输入，输出一个整数，表示使用最优策略在最坏情况下所需要的扔鸡蛋次数。

【输入样例】

100 1
100 2

【输出样例】

100
14

【核心思想】

1. 问题分析：给定 \(n\) 层楼和 \(m\) 个鸡蛋，需要确定鸡蛋的硬度（从某层摔下会碎的最高楼层）。每次从某层扔鸡蛋，若碎了则损失一个鸡蛋并确定硬度在下方，若没碎则可继续使用并确定硬度在上方。目标是求最坏情况下最少需要多少次尝试。这是一个区间DP + 状态转换问题，关键在于将"给定楼层数和鸡蛋数求最少尝试次数"转换为"给定鸡蛋数和尝试次数求能确定的最大楼层数"。

2. 算法选择：

   • 状态转换：将原问题 \(f[n][m]\)（\(n\) 层楼 \(m\) 个鸡蛋的最少尝试次数）转换为 \(f[i][j]\)（\(i\) 个鸡蛋 \(j\) 次尝试能确定的最大楼层数）
   • 区间DP思想：在第 \(k\) 层扔鸡蛋时，最坏情况下的可确定楼层数为 max(f[k-1][j-1], f[i-k][j]) + 1
   • 最优子结构：通过枚举扔鸡蛋的楼层 \(k\)，取所有情况的最小值

3. 关键步骤：

   • 状态定义：f[i][j] 表示用 \(i\) 个鸡蛋、最多扔 \(j\) 次，能确定的最大楼层数
   • 初始化：
     • f[i][1] = 1：只有1次尝试，最多确定1层
     • f[1][j] = j：只有1个鸡蛋，必须逐层尝试，最多确定 \(j\) 层
   • 状态转移（枚举在第 \(k\) 层扔鸡蛋）：
     • 鸡蛋碎了：剩下 \(k-1\) 层、\(j-1\) 次尝试，可确定 f[k-1][j-1] 层
     • 鸡蛋没碎：剩下 \(i-k\) 层、\(j\) 次尝试，可确定 f[i-k][j] 层
     • 最坏情况取两者最大值，再加上当前这一层：max(f[k-1][j-1], f[i-k][j]) + 1
     • 对所有 \(k\) 取最小值：f[i][j] = min(f[i][j], max(f[k-1][j-1], f[i-k][j]) + 1)
   • 求解原问题：找到最小的 \(j\) 使得 f[n][j] >= m，即 \(n\) 个鸡蛋 \(j\) 次尝试能确定至少 \(m\) 层楼

4. 时间/空间复杂度：

   • 时间复杂度：\(O(n^2 \times m)\)，三层循环：鸡蛋数 \(n\)、尝试次数 \(m\)、枚举扔鸡蛋楼层 \(n\)
   • 空间复杂度：\(O(n \times m)\)，DP数组大小

5. 区间DP + 状态转换的核心思想：

   • 问题转换技巧：将"求最少尝试次数"转换为"求能确定的最大楼层数"，使状态转移更直观
   • 最优子结构：在第 \(k\) 层扔鸡蛋的最坏情况由左右两个子问题的最坏情况决定
   • 区间分割思想：类似于区间DP，将问题分解为左区间（鸡蛋碎）和右区间（鸡蛋不碎）
   • 最坏情况分析：每次选择楼层时要考虑鸡蛋碎和不碎两种情况，取最坏情况的最小值
   • 适用于资源受限下的最优决策问题，特别是涉及"最坏情况最小化"的场景

【解题思路】

【算法标签】

区间DP

【代码详解】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 105;  // 最大鸡蛋数量
const int M = 11;   // 最大楼层数

int f[N][M];        // DP数组，f[i][j]表示i个鸡蛋j次尝试能确定的最大楼层

int main()
{
    int n, m;       // n: 鸡蛋数量, m: 尝试次数

    // 处理多组输入
    while (cin >> n >> m)
    {
        // 初始化DP数组
        memset(f, 0, sizeof(f));

        // 基础情况初始化：
        // 1. 只有1次尝试时，最多只能确定1层
        // 2. 只有1个鸡蛋时，需要逐层尝试
        for (int i = 1; i <= n; i++)
            for (int j = 1; j <= m; j++)
                f[i][j] = i;

        // 动态规划求解
        for (int i = 1; i <= n; i++)        // 鸡蛋数量
        {
            for (int j = 2; j <= m; j++)    // 尝试次数
            {
                for (int k = 1; k <= i; k++) // 在第k层扔鸡蛋
                {
                    // 状态转移方程：
                    // 最坏情况下取两种情况的最大值（鸡蛋碎或不碎）
                    // 再加1表示当前这次尝试
                    f[i][j] = min(f[i][j],
                                 max(f[k-1][j-1], f[i-k][j]) + 1);
                }
            }
        }

        // 输出结果
        cout << f[n][m] << endl;
    }

    return 0;
}

【运行结果】

100 1
100
100 2
14
^Z