题解：洛谷 P1679 神奇的四次方数

【题目来源】

洛谷：P1679 神奇的四次方数 - 洛谷

【题目描述】

将一个整数 \(m\) 分解为 \(n\) 个四次方数的和的形式，要求 \(n\) 最小。例如，当 \(m=706\) 时，因为 \(706=5^4+3^4\)，所以有 \(n=2\)。可以证明此时 \(n\) 最小。

【输入】

一行，一个整数 \(m\)。

【输出】

一行，一个整数 \(n\)。

【输入样例】

706

【输出样例】

2

【核心思想】

1. 问题分析：给定整数 \(m\)，需要将其分解为若干个四次方数的和，使得使用的四次方数个数最少。这是一个完全背包求最少个数问题，物品为四次方数 \(i^4\)（\(i = 1, 2, \dots\)），每个物品可以使用无限次，目标是用最少的物品凑出总和 \(m\)。

2. 算法选择：

   • 完全背包：每个四次方数可以使用无限次
   • 求最小值版本：dp[j] 表示凑成数字 \(j\) 所需的最少四次方数个数
   • 预处理四次方数：\(i^4\)（\(i = 1, 2, \dots, 18\)），因为 \(18^4 = 104976 > 10^5\)

3. 关键步骤：

   • 初始化：dp[0] = 0（凑出0需要0个数），其余 dp[j] = INF（无穷大）
   • 预处理物品：四次方数 \(x = i^4\)，\(i\) 从 \(1\) 到 \(18\)（因为 \(18^4 > 10^5\)）
   • 完全背包转移：对于每个四次方数 \(x\)，遍历 \(j\) 从 \(x\) 到 \(m\)
     • dp[j] = min(dp[j], dp[j - x] + 1)
     • 要么不使用当前的 \(x\)，要么使用一个 \(x\)（个数+1）
   • 答案获取：dp[m] 即凑出 \(m\) 所需的最少四次方数个数

4. 时间/空间复杂度：

   • 时间复杂度：\(O(k \times m)\)，其中 \(k = 18\) 为四次方数个数，\(m\) 为目标数
   • 空间复杂度：\(O(m)\)，一维DP数组

5. 完全背包求最少个数的核心思想：

   • 物品无限使用：完全背包允许每个物品使用任意次数
   • 正向遍历：与01背包不同，完全背包使用正向遍历 j 从 \(x\) 到 \(m\)
   • 最小值转移：dp[j] = min(dp[j], dp[j - x] + 1)，表示使用一个 \(x\) 后的最小个数
   • 预处理优化：先计算出所有可能的四次方数，避免重复计算
   • 适用于"用最少物品凑出目标和"的完全背包问题

【算法标签】

普及- #完全背包

【代码详解】

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

int n, dp[100005];  // n: 目标数，dp: 动态规划数组

int main()
{
    cin >> n;  // 读入目标数

    memset(dp, 0x3f, sizeof(dp));  // 初始化dp数组为无穷大
    dp[0] = 0;  // 凑出0需要的数字个数为0

    // 完全背包问题
    for (int i = 1; i <= 18; i++)  // 遍历所有可能的四次方数
    {
        int x = i * i * i * i;  // 计算i的四次方
        for (int j = x; j <= n; j++)  // 从x开始遍历到n
        {
            // 状态转移方程：dp[j] = min(dp[j], dp[j-x] + 1)
            // 要么不使用当前的x，要么使用当前的x
            dp[j] = min(dp[j], dp[j - x] + 1);
        }
    }

    cout << dp[n];  // 输出凑出n所需的最小数字个数
    return 0;
}

【运行结果】

706
2