题解：洛谷 P15256 Purchasing Milk

【题目来源】

洛谷：P15256 [USACO26JAN2] Purchasing Milk B - 洛谷

【题目描述】

在国家牛奶日，农夫约翰正在提供桶装牛奶的独家优惠！他有 \(N\)（\(1 \leq N \leq 10^5\)）个交易，编号从 \(1\) 到 \(N\)。对于第 \(i\) 个交易，他以 \(a_i\)（\(1 \leq a_i \leq 10^9\)，\(a_i < a_{i+1}\)）牛币的价格提供 \(2^{i-1}\) 桶牛奶。同一个交易可以被购买任意非负整数次。

你正在考虑 \(Q\)（\(1 \leq Q \leq 10^4\)）个独立的询问。对于每个询问，你心中有一个整数 \(x\)（\(1 \leq x \leq 10^9\)），你想知道购买至少 \(x\) 桶牛奶的最小成本。

【输入】

第一行包含两个整数 \(N\) 和 \(Q\)。

接下来的一行包含 \(a_1, a_2, \ldots, a_N\)。

接下来的 \(Q\) 行，每行包含一个整数 \(x\)，表示一个询问。

【输出】

对于每个询问，在新的一行输出最小成本。

注意：本题中可能涉及大整数，需要使用 64 位整数数据类型（例如，C/C++ 中的 long long）。

【输入样例】

2 4
10 15
1
2
6
7

【输出样例】

10
15
45
55

【核心思想】

1. 问题分析：给定 \(N\) 个交易，第 \(i\) 个交易以 \(a_i\) 的价格提供 \(2^{i-1}\) 桶牛奶，同一交易可购买任意非负整数次。对于每个询问 \(x\)，求购买至少 \(x\) 桶牛奶的最小成本。这是一个贪心 + 二进制分解问题，关键在于利用 \(2^{i-1}\) 的指数性质进行二进制拆分。

2. 算法选择：

   • 价格预处理：确保 \(a_i \leq 2 \cdot a_{i-1}\)，否则用两个第 \(i-1\) 交易代替一个第 \(i\) 交易更优
   • 二进制贪心：从大到小枚举每个交易，优先使用性价比高的交易
   • 边界处理：当 \(i \geq 32\) 时，\(2^{i-1} > 10^9\)，只需记录最小价格作为保底答案

3. 关键步骤：

   • 预处理价格（\(i = 2\) 到 \(N\)）：
     • a[i] = min(a[i], 2 * a[i-1])：确保价格合理性
     • 若 \(i \geq 32\)，更新 minn = min(minn, a[i])：记录大交易的最低价格
   • 处理每个查询 \(x\)：
     • 初始化 ans = minn（保底答案），sum = 0（当前花费）
     • 二进制贪心（\(i\) 从 \(\min(31, N)\) 递减到 \(1\)）：
       • 计算 base = 2^{i-1}（第 \(i\) 个交易提供的牛奶数）
       • sum += a[i] * (x / base)：尽可能多地购买第 \(i\) 个交易
       • 计算候选答案 t = sum + (x \% base ? a[i] : 0)：若有余数则多买一个
       • ans = min(ans, t)：更新最小花费
       • x \%= base：更新剩余需求量
     • 输出 ans

4. 时间/空间复杂度：

   • 时间复杂度：\(O(N + Q \cdot \log x)\)，预处理 \(O(N)\)，每个查询二进制贪心 \(O(\log x)\)（最多31位）
   • 空间复杂度：\(O(N)\)，存储价格数组

5. 二进制贪心与价格预处理的核心思想：

   • 价格合理性：若 \(a_i > 2 \cdot a_{i-1}\)，则购买两个第 \(i-1\) 交易（提供 \(2 \cdot 2^{i-2} = 2^{i-1}\) 桶）比买一个第 \(i\) 交易更便宜
   • 二进制分解：利用 \(2^{i-1}\) 的性质，任何数量 \(x\) 都可表示为若干个 \(2^{i-1}\) 之和，类似二进制表示
   • 贪心策略：从大到小枚举交易，优先使用"单位牛奶成本"最低的大交易
   • 保底策略：当 \(i \geq 32\) 时，\(2^{i-1} \geq 2^{31} > 10^9 \geq x\)，只需买一个即可满足任何需求，取其中最便宜的作为保底
   • 适用于指数级数量增长、需要凑出目标值的贪心问题

【算法标签】

普及 #贪心

【代码详解】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
const int N = 100005;
int n, q, ans, sum, minn = 1e18, x;  // n: 物品数, q: 查询数, x: 查询目标
int a[N];  // 物品价格

signed main()
{
    cin >> n >> q;  // 输入物品数和查询数
    for (int i = 1; i <= n; i++)  // 输入物品价格
    {
        cin >> a[i];
    }
    for (int i = 2; i <= n; i++)  // 预处理价格
    {
        a[i] = min(a[i], 2 * a[i - 1]);  // 确保价格合理
        if (i >= 32)  // 只考虑i≥32的情况
        {
            minn = min(minn, a[i]);  // 记录最小价格
        }
    }
    while (q--)  // 处理查询
    {
        cin >> x;  // 输入目标数量
        ans = minn;  // 初始答案
        sum = 0;  // 当前花费
        for (int i = min(31LL, n); i >= 1; i--)  // 从大到小处理
        {
            int base = pow(2, i - 1);  // 2^(i-1)
            sum += a[i] * (x / base);  // 用第i个物品填充
            int t = sum;
            if (x % base)  // 如果还有剩余
            {
                t += a[i];  // 多买一个
            }
            ans = min(ans, t);  // 更新最小花费
            x %= base;  // 更新剩余需求
        }
        cout << ans << endl;  // 输出答案
    }
    return 0;
}

【运行结果】

2 4
10 15
1
10
2
15
6
45
7
55