题解：洛谷 P1115 最大子段和

【题目来源】

洛谷：P1115 最大子段和 - 洛谷

【题目描述】

给出一个长度为 \(n\) 的序列 \(a\)，选出其中连续且非空的一段使得这段和最大。

【输入】

第一行是一个整数，表示序列的长度 \(n\)。

第二行有 \(n\) 个整数，第 \(i\) 个整数表示序列的第 \(i\) 个数字 \(a_i\)。

【输出】

输出一行一个整数表示答案。

【输入样例】

7
2 -4 3 -1 2 -4 3

【输出样例】

4

【核心思想】

1. 问题分析：给定长度为 \(n\) 的序列 \(a_1, a_2, \ldots, a_n\)，需要找到一个连续非空子数组 \(a[l..r]\)，使得其和 \(\sum_{i=l}^{r} a_i\) 最大。这是一个经典的线性动态规划问题，具有最优子结构性质。

2. 算法选择：

   • 动态规划（DP）：定义状态 \(f[i]\) 表示以第 \(i\) 个元素结尾的最大子段和
   • 贪心决策：对于每个位置，决定是将当前元素加入之前的子段，还是重新开始一个新的子段

3. 关键步骤：

   • 定义状态：\(f[i]\) 表示以 \(a[i]\) 结尾的最大子段和
   • 状态转移方程：
     \[f[i] = \max(f[i-1] + a[i], a[i]) \]
     • \(f[i-1] + a[i]\)：将 \(a[i]\) 接在以 \(a[i-1]\) 结尾的最大子段后面
     • \(a[i]\)：从 \(a[i]\) 开始一个新的子段
   • 初始化：\(f[1] = a[1]\)（第一个元素只能单独成段）
   • 遍历计算所有 \(f[i]\)，最终答案为 \(\max_{1 \leq i \leq n} f[i]\)
   • 空间优化：可以使用滚动数组，只保留 \(f[i-1]\)，空间复杂度降为 \(O(1)\)

4. 时间/空间复杂度：

   • 时间复杂度：\(O(n)\)，只需遍历数组一次
   • 空间复杂度：\(O(n)\)，使用 DP 数组（可优化至 \(O(1)\)）

5. 线性DP与Kadane算法的核心思想：

   • 最优子结构：以 \(a[i]\) 结尾的最大子段和，只与以 \(a[i-1]\) 结尾的最大子段和有关
   • 局部最优推全局最优：通过维护每个位置的"以该位置结尾的最大子段和"，最终得到全局最大值
   • 贪心选择：当之前的子段和为负数时，放弃它重新开始，因为负数会拖累后面的和
   • 适用于最大子矩阵、最大子数组变种等问题

【算法标签】

普及- #线性DP-一维

【代码详解】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 200005;  // 定义最大数组长度

int n;                  // 数组元素个数
int a[N];               // 存储原始数组
int f[N];               // 动态规划数组，f[i]表示以a[i]结尾的最大子数组和
int ans = -1e9;         // 存储全局最大子数组和，初始化为极小值

int main()
{
    // 输入数组元素个数
    cin >> n;

    // 输入数组元素
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        cin >> a[i];
    }

    // 动态规划：计算以每个位置结尾的最大子数组和
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        // 状态转移方程：
        // 以a[i]结尾的最大子数组和 = max(前一个最大子数组和 + a[i], 单独取a[i])
        f[i] = max(f[i - 1] + a[i], a[i]);
    }

    // 遍历所有位置，找到全局最大值
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        ans = max(ans, f[i]);
    }

    // 输出最大子数组和
    cout << ans << endl;

    return 0;
}

【运行结果】

7
2 -4 3 -1 2 -4 3
4