题解：学而思编程 货仓选址

【题目来源】

学而思编程：货仓选址

【题目描述】

在一条数轴上有 \(n\) 家商店，它们的坐标分别为 \(a_1\) 到 \(a_n\)

现在需要在数轴上建立一家货仓，每天清晨，从货仓到每家商店都要运送一车商品。

为了提高效率，求把货仓建在何处，可以使得货仓到每家商店的距离之和最小。

【输入】

第一行输入整数 \(n\)。

第二行 \(n\) 个整数 \(a_1\) 到 \(a_n\)

【输出】

输出一个整数，表示距离之和的最小值。

【输入样例】

4
6 2 9 1

【输出样例】

12

【核心思想】

1. 问题分析：给定 \(n\) 个商店在数轴上的坐标 \(a_1, a_2, \ldots, a_n\)，需要选择一个位置建立货仓，使得货仓到所有商店的距离之和最小。这是一个经典的中位数贪心问题，关键在于最优位置是中位数。

2. 算法选择：

   • 中位数性质：对于一维数轴上的点，使得到所有点距离之和最小的位置是中位数
   • 数学证明：设选址位置为 \(x\)，总距离为 \(f(x) = \sum_{i=1}^{n} |a_i - x|\)。当 \(x\) 为中位数时，\(f(x)\) 取得最小值
   • 配对优化：排序后，最大与最小配对、次大与次小配对，每对的差值之和即为答案

3. 关键步骤：

   • 读取输入：\(n\)（商店数量）、\(a[1..n]\)（商店坐标）
   • 排序：sort(a + 1, a + n + 1) 从小到大排序
   • 配对计算（遍历 \(i\) 从 \(1\) 到 \((n+1)/2\)）：
     • 配对差值：ans += a[n-i+1] - a[i]（最大与最小配对）
   • 输出结果：最小距离之和 \(ans\)

4. 时间/空间复杂度：

   • 时间复杂度：\(O(n \log n)\)，主要是排序复杂度
   • 空间复杂度：\(O(n)\)，存储商店坐标

5. 中位数贪心的核心思想：

   • 中位数最优性：在一维情况下，中位数是使得到所有点距离之和最小的位置
   • 排序配对技巧：排序后首尾配对，利用对称性简化计算
   • 贪心正确性：中位数将数轴分成两部分，左右两侧的点数平衡，总距离最小
   • 数学推导：通过绝对值函数的性质可以严格证明中位数的最优性
   • 适用于一维选址问题、距离最小化、带权中位数等问题

【算法标签】

贪心

【代码详解】

#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
long long n, a[100005], ans;  // ans: 最终结果

int main()
{
    cin >> n;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        cin >> a[i];
    }
    sort(a + 1, a + n + 1);  // 从小到大排序

    // 计算最大元素与最小元素的差值之和
    for (int i = 1; i <= (n + 1) / 2; i++)
    {
        ans += a[n - i + 1] - a[i];  // 最大与最小配对
    }
    cout << ans;
    return 0;
}

【运行结果】

4
6 2 9 1
12