题解：学而思编程 解码方法

【题目来源】

学而思编程：解码方法

【题目描述】

给出一个数字 \(n\)，我们按照如下规则把它翻译为字符串：0 翻译成 "a" ，1 翻译成 "b"，......，11 翻译成 "l"，......，25 翻译成 "z"。一个数字可能有多个翻译。请编程计算一个数字有多少种不同的翻译方法。

例如102040有4种不同的翻译方法：分别是"bacaea", "bauea", "kcaea"和"kuea"。

【输入】

一行，一个整数 \(n\)

【输出】

一个整数，翻译方法数

【输入样例】

102040

【输出样例】

4

【核心思想】

1. 问题分析：给定一个数字字符串 \(s\)，每个数字可以单独翻译（0→a, 1→b, ..., 9→j），或者与前一个数字组合成两位数翻译（10→k, 11→l, ..., 25→z）。求不同的翻译方法总数。这是一个线性动态规划问题，类似于斐波那契数列的递推关系。

2. 算法选择：

   • 动态规划（DP）：\(dp[i]\) 表示前 \(i\) 个字符的翻译方法数
   • 状态转移：根据当前字符能否与前一个字符组合，决定转移方式

3. 关键步骤：

   • 将输入数字转为字符串 \(s\)，下标从 \(1\) 开始
   • 初始化：\(dp[0] = 1\)（空字符串有 \(1\) 种解码方式），\(dp[1] = 1\)（第一个字符单独解码）
   • 状态转移（从 \(i = 2\) 到 \(n\)）：
     • 检查 \(s[i-1]\) 和 \(s[i]\) 能否组成有效两位数（\(10\) 到 \(25\)）：
       • 若 \(s[i-1] = '1'\)：可以组成 \(10\)-\(19\)，有效
       • 若 \(s[i-1] = '2'\) 且 \(s[i] \leq '5'\)：可以组成 \(20\)-\(25\)，有效
     • 若能组合：\(dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]\)
       • \(dp[i-1]\)：\(s[i]\) 单独解码的方法数
       • \(dp[i-2]\)：\(s[i-1]\) 和 \(s[i]\) 组合解码的方法数
     • 若不能组合：\(dp[i] = dp[i-1]\)（只能单独解码）
   • 输出 \(dp[n]\) 作为答案

4. 时间/空间复杂度：

   • 时间复杂度：\(O(n)\)，只需遍历字符串一次
   • 空间复杂度：\(O(n)\)，使用 \(dp\) 数组（可优化至 \(O(1)\)，只保留 \(dp[i-1]\) 和 \(dp[i-2]\)）

5. 线性DP与类斐波那契递推的核心思想：

   • 最优子结构：前 \(i\) 个字符的解码数只与前 \(i-1\) 和 \(i-2\) 个字符有关
   • 状态转移分情况：根据当前字符能否与前一个组合，决定是单步走还是双步走
   • 边界条件处理：\(dp[0]\) 和 \(dp[1]\) 的初始化是递推的基础
   • 适用于字符串解码、爬楼梯、分割整数等组合计数问题

【算法标签】

线性DP-一维

【代码详解】

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;

string s;  // 输入的数字字符串
int n, dp[55];  // n: 字符串长度，dp: 动态规划数组

int main()
{
    cin >> s;  // 读入数字字符串
    n = s.size();  // 获取字符串长度
    s = ' ' + s;  // 在字符串前加一个空格，使下标从1开始

    dp[0] = dp[1] = 1;  // 初始化动态规划数组
    // dp[0] = 1: 空字符串有1种解码方式
    // dp[1] = 1: 第一个字符单独解码有1种方式

    for (int i = 2; i <= n; i++)
    {
        // 检查前两个字符是否能组成一个有效的两位数
        // 条件1: 前一个字符是'1'，则当前字符可以是0-9
        // 条件2: 前一个字符是'2'且当前字符小于等于'5'，则组成的数字是20-25
        if (s[i - 1] == '1' || s[i - 1] == '2' && s[i] <= '5')
        {
            // 如果前两个字符能组成有效数字，则有两种解码方式：
            // 1. 当前字符单独解码：dp[i-1]种方式
            // 2. 前两个字符一起解码：dp[i-2]种方式
            dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];
        }
        else
        {
            // 如果前两个字符不能组成有效数字，则当前字符必须单独解码
            dp[i] = dp[i - 1];
        }
    }

    cout << dp[n];  // 输出整个字符串的解码方式总数
    return 0;
}

【运行结果】

102040
4