题解：学而思编程 股票买卖

【题目来源】

学而思编程：股票买卖

【题目描述】

给定一支股票接下来 \(n\) 天的价格，设计一个算法计算出最大的利润。

每天你可以进行买入或者卖出，或者不进行任何操作，但是需要遵守以下条件：

• 你不能同时参与多笔交易（你必须在再次买入前卖出之前的股票）。
• 卖出股票后，你无法在第二天买入股票（即冷冻期为 \(1\) 天）。

【输入】

第一行一个整数 \(n(1≤n≤10^5)\)，表示一共有 \(n\) 天。

第二行一共有 \(n\) 个整数 \(a_i(1≤a_i≤10^9)\)，表示第 \(i\) 天的价格。

【输出】

输出一行，包含一个整数，表示最大的利润。

【输入样例】

5
2 3 4 1 3

【输出样例】

3

【核心思想】

1. 问题分析：给定 \(n\) 天的股票价格 \(a_i\)，每天可以买入、卖出或不操作，但不能同时持有多只股票（再次买入前必须卖出），且卖出后有 \(1\) 天冷冻期（第二天不能买入）。求最大利润。这是一个状态机 DP 问题，需要设计多个状态表示不同的持仓和冷冻情况。

2. 算法选择：

   • 状态机 DP（线性 DP）：定义多个状态表示不同的交易状态
   • 状态设计：
     • 状态 \(0\)：手中没有股票，且不在冷冻期（可以买入）
     • 状态 \(1\)：手中持有股票
     • 状态 \(2\)：手中没有股票，但处于冷冻期（刚卖出，不能买入）

3. 关键步骤：

   • 初始化：\(dp[0][0] = 0\)（第 \(0\) 天没有股票，利润为 \(0\)），其他状态初始化为负无穷
   • 状态转移：
     • \(dp[i][0] = \max(dp[i-1][0], dp[i-1][2])\)：状态 \(0\) 可以从状态 \(0\) 不操作，或从状态 \(2\) 冷冻期结束转移
     • \(dp[i][1] = \max(dp[i-1][1], dp[i-1][0] - a[i])\)：状态 \(1\) 可以从状态 \(1\) 继续持有，或从状态 \(0\) 买入（花费 \(a[i]\)）
     • \(dp[i][2] = dp[i-1][1] + a[i]\)：状态 \(2\) 只能从状态 \(1\) 卖出股票转移（获得 \(a[i]\)）
   • 答案：\(\max(dp[n][0], dp[n][2])\)，最后不能持有股票

4. 时间/空间复杂度：

   • 时间复杂度：\(O(n)\)，一次遍历完成状态转移
   • 空间复杂度：\(O(n)\)，DP 数组存储，可优化至 \(O(1)\)

5. 状态机 DP 的核心思想：

   • 状态设计：根据题目约束设计合理的状态，本题用三个状态表示持仓和冷冻情况
   • 状态转移：明确每个状态可以从哪些状态转移而来，确保状态转移的完备性
   • 最优子结构：当前最优解由子问题的最优解组合而成
   • 空间优化：由于只依赖前一天的状态，可以用滚动数组优化至 \(O(1)\)
   • 适用于有复杂约束的序列决策问题，如股票交易、任务调度等

【算法标签】

线性DP-一维

【代码详解】

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define int long long
const int N = 1e5 + 5;
int n, a[N], dp[N][5];  // dp[i][j]: 前i天，状态j的最大收益

signed main()
{
    cin >> n;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        cin >> a[i];  // 第i天的股价
    }
    memset(dp, -0x3f, sizeof(dp));  // 初始化为负无穷
    dp[0][0] = 0;  // 第0天，没有股票

    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        // 状态0: 没有股票，不操作
        dp[i][0] = max(dp[i - 1][0], dp[i - 1][2]);
        // 状态1: 持有股票
        dp[i][1] = max(dp[i - 1][1], dp[i - 1][0] - a[i]);
        // 状态2: 卖出股票后的冷冻期
        dp[i][2] = dp[i - 1][1] + a[i];
    }
    cout << max(dp[n][0], dp[n][2]);  // 最后不能持有股票
    return 0;
}

【运行结果】

5
2 3 4 1 3
3