题解：学而思编程 奶牛杂技团

【题目来源】

学而思编程：奶牛杂技团

【题目描述】

农夫约翰有 \(N\) 头奶牛，编号从 \(1\) 到 \(N\)，打算进行叠罗汉的杂技表演。

进行叠罗汉表演时，奶牛站在彼此的身上，形成一个有一定高度的垂直堆叠。

奶牛们正在试图弄清楚它们在这个堆叠中的位置顺序。

奶牛们有自己的重量 \(W_i\) 和力量 \(S_i\)，一头奶牛倒下的风险等于它身上所有奶牛（不包括它自己）的重量和减去它的力量。

你的任务是确定奶牛的顺序，使奶牛的风险值中的最大值尽可能小。

【输入】

第一行包括一个整数 \(N\)，表示奶牛的数量，其中 \(1≤N≤50000\)

接下来 \(N\) 行，每行两个整数，表示奶牛的重量 \(W_i\) 和力量 \(S_i\)，其中 \(1≤W_i≤10000\) \(1≤S_i≤10^9\)

【输出】

输出一个整数，表示最大风险值的最小可能值

【输入样例】

3
10 3
2 5
3 3

【输出样例】

2

【核心思想】

1. 问题分析：给定 \(N\) 头奶牛，每头奶牛有重量 \(W_i\) 和力量 \(S_i\)。需要将奶牛叠起来，每头奶牛的风险值等于它上面所有奶牛的重量和减去它的力量。求一种叠放顺序，使得所有奶牛中的最大风险值尽可能小。这是一个自定义排序贪心问题，关键在于找到最优的排序规则。

2. 算法选择：

   • 风险值分析：对于第 \(i\) 头奶牛（从下往上数），风险值为 \(\sum_{j=1}^{i-1} W_j - S_i\)
   • 排序规则推导：考虑相邻两头奶牛 \(i\) 和 \(i+1\)，交换它们的位置后比较风险值，可以推导出最优排序应按 \(W_i + S_i\) 从小到大排序
   • 贪心正确性：按 \(W + S\) 排序可以确保承受能力强（\(S\) 大）且重量轻（\(W\) 小）的奶牛放在下面，从而最小化每头奶牛的风险值

3. 关键步骤：

   • 读取输入：\(N\)（奶牛数量）、每头奶牛的 \(W_i\) 和 \(S_i\)
   • 自定义排序：按 \(W_i + S_i\) 从小到大排序
   • 遍历计算风险值（遍历 \(i\) 从 \(1\) 到 \(N\)）：
     • 计算当前风险值：risk = tot - a[i].s（上面所有牛的重量 - 当前牛的力量）
     • 更新最大风险值：ans = max(ans, risk)
     • 累加重量：tot += a[i].w
   • 输出结果：最小化的最大风险值 \(ans\)

4. 时间/空间复杂度：

   • 时间复杂度：\(O(N \log N)\)，主要是排序复杂度
   • 空间复杂度：\(O(N)\)，存储奶牛信息

5. 自定义排序贪心的核心思想：

   • 问题建模：将叠放顺序问题转化为排序问题，通过分析相邻元素交换的影响推导排序规则
   • 交换论证：考虑相邻两头奶牛交换位置后的风险值变化，推导出最优排序条件
   • 排序规则：按 \(W + S\) 排序，让承受能力强且重量轻的奶牛优先放在下面
   • 线性扫描：排序后只需一次线性扫描即可计算最大风险值
   • 适用于顺序优化、调度问题、最小化最大值类问题

【算法标签】

贪心

【代码详解】

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
int n, ans = -1e9, tot;  // ans: 最大风险值, tot: 累计总重量
struct node
{
    int w, s;  // w: 牛的重量, s: 牛的强壮程度
} a[50005];

// 排序规则：按w+s从小到大排序
bool cmp(node x, node y)
{
    return x.w + x.s < y.w + y.s;
}

int main()
{
    cin >> n;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        cin >> a[i].w >> a[i].s;
    }
    sort(a + 1, a + n + 1, cmp);
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        // 当前牛的风险值 = 它上面所有牛的重量 - 它的强壮程度
        ans = max(ans, tot - a[i].s);
        tot += a[i].w;  // 累计总重量
    }
    cout << ans;
    return 0;
}

【运行结果】

3
10 3
2 5
3 3