题解：学而思编程 单词的划分

【题目来源】

学而思编程：单词的划分

【题目描述】

有一个很长的由小写字母组成字符串。为了便于对这个字符串进行分析，需要将它划分成若干个部分，每个部分都必须是字典中的一个单词。出于减少分析量的目的，我们希望划分出的单词数越少越好。你就是来完成这一划分工作的。

给出字符串和字典，输出最少的划分单词数。

【输入】

第 \(1\) 行，\(1\) 个字符串。（字符串的长度不超过 \(1000\)）

第 \(2\) 行，\(1\) 个整数 \(n\)，表示字典中单词的个数。（\(n≤100\)）

第 \(3\) 到 \(n+2\) 行，每行列出一个字典中的单词。（单词长度不超过 \(100\)）

【输出】

【输入样例】

realityour
5
real
reality
it
your
our

【输出样例】

2

【核心思想】

1. 问题分析：给定一个长度为 \(m\) 的字符串 \(s\) 和一个包含 \(n\) 个单词的字典，要求将字符串划分成若干个部分，每个部分都必须是字典中的单词，求最少划分单词数。这是一个线性DP问题，关键在于如何高效判断子串是否在字典中并进行状态转移。

2. 算法选择：

   • 线性DP：定义 dp[i] 为组成前 \(i\) 个字符所需的最少单词数
   • 子串匹配：遍历所有可能的子串，检查是否在字典中
   • 逆向枚举：从位置 \(i\) 向前枚举子串起点 \(j\)，减少重复计算

3. 关键步骤：

   • 初始化：
     • dp[0] = 0（空字符串需要0个单词）
     • dp[i] = INF（初始化为较大值）
     • 将字符串前加一个空格，使下标从1开始
   • 状态转移（遍历每个位置 \(i\) 从 \(1\) 到 \(m\)）：
     • 从位置 \(i\) 向前枚举子串起点 \(j\)（\(j\) 从 \(i\) 到 \(1\)）
     • 提取子串 \(s[j..i]\)（长度为 \(i-j+1\)）
     • 检查子串是否在字典中：
       • 若在字典中：dp[i] = min(dp[i], dp[j-1] + 1)
       • 解释：前 \(j-1\) 个字符需要 dp[j-1] 个单词，加上当前子串1个单词
   • 结果：dp[m]（整个字符串的最少单词数）

4. 时间/空间复杂度：

   • 时间复杂度：\(O(m^2 \cdot n \cdot L)\)，其中 \(m\) 为字符串长度，\(n\) 为字典大小，\(L\) 为单词平均长度
     • 外层循环 \(O(m)\)，内层循环 \(O(m)\)，字符串比较 \(O(L)\)，字典查找 \(O(n)\)
   • 空间复杂度：\(O(m + n \cdot L)\)，DP数组和字典存储

5. 线性DP的核心思想：

   • 状态定义：dp[i] 表示前 \(i\) 个元素（或位置 \(i\)）的最优解
   • 递推关系：通过枚举前一个分割点，将问题分解为子问题
   • 子串匹配：通过逆向枚举起点，检查所有可能的子串是否在字典中
   • 最优子结构：当前最优解由之前某个位置的最优解转移而来
   • 适用于字符串分割、单词拆分、最优划分类问题

【算法标签】

线性DP-一维

【代码详解】

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<string>
using namespace std;

int n, dp[1005], m;  // n: 词典大小，dp: 动态规划数组，m: 字符串长度
string s, ls[105];  // s: 目标字符串，ls: 词典字符串数组

// 检查子串是否在词典中
bool chk(string s)
{
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        if (s == ls[i])
        {
            return 1;  // 找到匹配
        }
    }
    return 0;  // 未找到匹配
}

int main()
{
    cin >> s >> n;  // 读入目标字符串和词典大小
    m = s.size();  // 获取字符串长度
    s = ' ' + s;  // 在字符串前加一个空格，使下标从1开始

    memset(dp, 0x3f, sizeof(dp));  // 初始化dp数组为较大值
    dp[0] = 0;  // 空字符串需要0个单词

    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        cin >> ls[i];  // 读入词典中的单词
    }

    for (int i = 1; i <= m; i++)  // 遍历目标字符串的每个位置
    {
        for (int j = i; j >= 1; j--)  // 从位置i向前遍历可能的子串
        {
            // 检查子串s[j:i]是否在词典中
            if (chk(s.substr(j, i - j + 1)))
            {
                // 如果子串在词典中，更新dp[i]的最小值
                // dp[i] = min(当前最小值, dp[j-1] + 1)
                dp[i] = min(dp[i], dp[j - 1] + 1);
            }
        }
    }

    cout << dp[m];  // 输出组成整个字符串所需的最小单词数
    return 0;
}

【运行结果】

realityour
5
real
reality
it
your
our
2