题解：学而思编程 兔子的工作

【题目来源】

学而思编程：兔子的工作

【题目描述】

兔子先生大学毕业后找到了一份实习工作，如果实习通过它就能转正了。

实习期共有 \(N\) 天，其中有几天公司集体放假，兔子先生不用上班，剩下时间它可以选择工作或者休息。

兔子先生工作总是越来越累，可是每当它休息时，它就重新充满了能量。简而言之，兔子先生第一天工作时这一天会消耗体力 \(1\)，连续第二天工作时这一天会消耗体力 \(2\)，连续第三天工作时这一天会消耗体力 \(3\)，以此类推......

每当兔子先生休息后，工作的第一天又会消耗体力 \(1\)。

为了让boss满意，兔子先生想工作尽量多的天数，但是懒惰的兔子先生又想让自己的总体力消耗不超过 \(K\)。

【输入】

第一行两个整数 \(N(1≤N≤400)\) 和 \(K(1≤K≤\frac{N×(N+1)}{2}\)，表示一共有 \(N\) 天，以及总体力不超过 \(K\)。

第二行是一个长度为 \(N\) 的 \(01\) 字符串。如果第 \(i\) 个字符为 \(1\)，表示第 \(i\) 天兔子先生可以选择工作或者休息，如果第 \(i\) 个字符为 \(0\)，则表示公司这天集体放假，兔子先生休息。

【输出】

输出一行，包含一个整数，表示兔子先生最多能工作的天数。

【输入样例】

4 2
1011

【输出样例】

2

【核心思想】

1. 问题分析：给定 \(N\) 天实习期，每天可选择工作或休息（部分天强制休息），连续工作第 \(k\) 天消耗体力 \(k\)。求在总体力消耗不超过 \(K\) 的前提下，最多能工作多少天。这是一个三维动态规划问题，需要记录连续工作长度来计算体力消耗。

2. 算法选择：

   • 三维 DP：\(dp[i][j][k]\) 表示前 \(i\) 天，工作了 \(j\) 天，最后一段连续工作长度为 \(k\) 时的最小体力消耗
   • 状态设计：第三维 \(k\) 用于计算连续工作的体力消耗（第 \(k\) 天消耗 \(k\) 点体力）

3. 关键步骤：

   • 初始化：\(dp[0][0][0] = 0\)，其他状态初始化为无穷大
   • 状态转移：
     • 不选当前天（休息）：\(dp[i][j][0] = \min(dp[i][j][0], dp[i-1][j][k])\)，连续长度重置为 \(0\)
     • 选当前天（工作，仅当 \(a[i] = '1'\)）：\(dp[i][j][k] = \min(dp[i][j][k], dp[i-1][j-1][k-1] + k)\)，连续长度增加 \(1\)，体力消耗增加 \(k\)
   • 答案：从大到小枚举工作天数 \(j\)，找到满足 \(dp[N][j][k] \leq K\) 的最大 \(j\)

4. 时间/空间复杂度：

   • 时间复杂度：\(O(N^3)\)，三重循环（天数、工作天数、连续长度）
   • 空间复杂度：\(O(N^3)\)，三维 DP 数组，可优化至 \(O(N^2)\)

5. 三维 DP 的核心思想：

   • 状态设计：增加第三维记录连续工作长度，用于准确计算体力消耗
   • 状态转移：休息则重置连续长度，工作则连续长度加 \(1\)
   • 最优子结构：当前最优解由子问题的最优解组合而成
   • 空间优化：由于只依赖前一天的状态，可以用滚动数组优化空间
   • 适用于有连续段代价的序列决策问题

【算法标签】

线性DP-一维

【代码详解】

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N = 405;
int n, t, dp[N][N][N];  // dp[i][j][k]: 前i个字符，选择了j个'1'，最后一段连续长度为k的最小操作次数
string a;

int main()
{
    cin >> n >> t >> a;
    a = ' ' + a;  // 使字符串下标从1开始
    memset(dp, 0x3f, sizeof(dp));  // 初始化为无穷大
    dp[0][0][0] = 0;  // 初始状态

    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        dp[i][0][0] = 0;  // 不选任何'1'的情况
        for (int j = 1; j <= i; j++)  // 选择的'1'的数量
        {
            // 不选当前字符
            for (int k = 0; k <= j; k++)
            {
                dp[i][j][0] = min(dp[i][j][0], dp[i - 1][j][k]);
            }

            // 如果当前字符是'1'，选择它
            if (a[i] == '1')
            {
                for (int k = 1; k <= j; k++)
                {
                    // 选择当前字符，连续长度增加1
                    dp[i][j][k] = min(dp[i][j][k], dp[i - 1][j - 1][k - 1] + k);
                }
            }
        }
    }

    // 从后向前找到满足条件的最多'1'数量
    for (int j = n; j >= 0; j--)
    {
        for (int k = 0; k <= j; k++)
        {
            if (dp[n][j][k] <= t)  // 操作次数不超过限制
            {
                cout << j;
                return 0;
            }
        }
    }
    return 0;
}

【运行结果】

4 2
1011
2