题解：AtCoder AT_awc0087_c Shortest Mountain Climbing Route

【题目来源】

AtCoder：C - Shortest Mountain Climbing Route

【题目描述】

Takahashi enjoys mountain climbing and is planning a traverse route through a mountain range. The mountain range has \(N\) points arranged in a line, numbered from \(1\) to \(N\), and the elevation of each point \(i\) (\(1 \leq i \leq N\)) is \(A_i\) meters.

Takahashi chooses a pair of integers \((l, r)\) satisfying \(1 \leq l \leq r \leq N\), and walks a route that passes through each point in order from point \(l\) to point \(r\) in ascending order of their numbers. The number of points included in this route is \(r - l + 1\).

The total elevation change of this route is defined as the sum of the absolute differences in elevation between adjacent points along the route, namely:

\(\sum_{i=l}^{r-1} |A_{i+1} - A_i|\)

Note that when \(l = r\), this sum is an empty sum, so the total elevation change is \(0\).

Takahashi wants to walk a route with a total elevation change of at least \(K\) for training purposes. However, since he is short on time, he wants to choose a route that satisfies the condition while containing the fewest number of points.

If a route with a total elevation change of at least \(K\) exists, find the minimum number of points included in such a route. If no such route exists, output \(-1\).

高桥热爱登山，正在规划一条穿越山脉的路线。这座山脉有 \(N\) 个点排成一行，编号从 \(1\) 到 \(N\)，每个点 \(i\)（\(1 \leq i \leq N\)）的海拔高度为 \(A_i\) 米。

高桥选择一对满足 \(1 \leq l \leq r \leq N\) 的整数 \((l, r)\)，并按编号递增的顺序依次经过从点 \(l\) 到点 \(r\) 的每个点。这条路线包含的点的数量为 \(r - l + 1\)。

这条路线的总海拔变化定义为沿线相邻点之间海拔差的绝对值之和，即：

\(\sum_{i=l}^{r-1} |A_{i+1} - A_i|\)

注意，当 \(l = r\) 时，这是一个空和，因此总海拔变化为 \(0\)。

高桥为了训练目的，想要走一条总海拔变化至少为 \(K\) 的路线。但是，由于时间有限，他想在满足条件的前提下选择包含最少点的路线。

如果存在总海拔变化至少为 \(K\) 的路线，求此类路线中包含的最小点数。如果不存在这样的路线，输出 \(-1\)。

【输入】

\(N\) \(K\)
\(A_1\) \(A_2\) \(\ldots\) \(A_N\)

• The first line contains an integer \(N\) representing the number of points and an integer \(K\) representing the lower bound on the total elevation change, separated by a space.
• The second line contains integers \(A_1, A_2, \ldots, A_N\) representing the elevation of each point, separated by spaces.

【输出】

If a route with a total elevation change of at least \(K\) exists, output the minimum number of points included in such a route on a single line. If no such route exists, output \(-1\).

【输入样例】

5 5
1 4 2 5 3

【输出样例】

3

【核心思想】

1. 问题分析：给定 \(N\) 个点的海拔高度 \(A_i\) 和目标海拔变化 \(K\)。定义区间 \([l, r]\) 的总海拔变化为 \(\sum_{i=l}^{r-1} |A_{i+1} - A_i|\)。需要找到总海拔变化至少为 \(K\) 的最短区间（包含点数最少）。这是一个滑动窗口问题，关键在于利用单调性快速找到满足条件的最短区间。

2. 算法选择：

   • 滑动窗口（双指针）：维护一个可变长度的窗口 \([l, r]\)，右指针 \(r\) 向右扩展窗口，左指针 \(l\) 在条件满足时向右收缩窗口
   • 贪心策略：当窗口内的总海拔变化 \(\geq K\) 时，尝试收缩左边界以找到更短的满足条件的区间

3. 关键步骤：

   • 初始化：左指针 \(l = 1\)，右指针 \(r = 1\)，当前和 \(sum = 0\)，答案 \(ans = N + 1\)（初始化为无穷大）
   • 滑动窗口遍历（\(r\) 从 \(1\) 到 \(N\)）：
     • 扩展窗口：如果 \(r > l\)，将 \(|A[r] - A[r-1]|\) 加入 \(sum\)
     • 收缩窗口（当 \(l < r\) 且 \(sum \geq K\) 时循环）：
       • 更新答案：\(ans = \min(ans, r - l + 1)\)
       • 移除左边界的贡献：\(sum -= |A[l+1] - A[l]|\)
       • \(l++\)（左边界右移）
   • 输出结果：如果 \(ans == N + 1\) 输出 \(-1\)，否则输出 \(ans\)

4. 时间/空间复杂度：

   • 时间复杂度：\(O(N)\)，每个指针最多移动 \(N\) 次
   • 空间复杂度：\(O(N)\)，存储海拔高度数组

5. 滑动窗口的核心思想：

   • 单调性：右指针 \(r\) 只向右移动，左指针 \(l\) 也只向右移动，不会回溯
   • 双指针协同：右指针负责扩展窗口使条件满足，左指针负责收缩窗口寻找最优解
   • 最优性保证：当条件满足时，当前窗口长度是一个候选答案，通过收缩左边界尝试找到更短的满足条件的窗口
   • 适用场景：寻找满足某种条件的最短/最长子数组、子区间问题
   • 适用于连续子数组、子区间统计问题

【算法标签】

双指针

【代码详解】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
const int N = 200005;  // 定义最大数组长度
int n, k;  // 数组长度n，目标和k
int a[N], sa[N];  // 数组a，前缀和数组sa（此处未使用）
signed main()  // 主函数
{
    cin >> n >> k;  // 输入数组长度和目标和
    for (int i=1; i<=n; i++)  // 读取数组元素
        cin >> a[i];  // 输入第i个元素
    // for (int i=2; i<=n; i++)  // 计算相邻元素差的前缀和（被注释掉）
    //     sa[i] = sa[i-1] + abs(a[i]-a[i-1]);
    int sum = 0;  // 当前窗口内相邻元素差的绝对值之和
    int ans=n+1;  // 初始化答案为n+1（表示未找到）
    for (int l=1, r=1; r<=n; r++)  // 滑动窗口，l为左指针，r为右指针
    {
        if (r>l)  // 如果窗口内有多个元素
            sum += abs(a[r]-a[r-1]);  // 将新增的相邻差加入总和
        while (l<r && sum>=k)  // 当总和超过或等于k时，尝试缩小窗口
        {
            ans = min(ans, r - l + 1);  // 更新最小窗口长度
            sum -= abs(a[l+1]-a[l]);  // 移除左边界相邻差
            l++;  // 左指针右移
        }
    }
    if (ans==n+1) cout << -1 << endl;  // 如果未找到满足条件的窗口，输出-1
    else cout << ans << endl;  // 否则输出最小窗口长度
    return 0;  // 程序正常结束
}

【运行结果】

5 5
1 4 2 5 3
3