题解：AcWing 803 区间合并

【题目来源】

AcWing：803 区间合并 - AcWing题库

【题目描述】

给定 \(n\) 个区间 \([l_i,r_i]\)，要求合并所有有交集的区间。

注意如果在端点处相交，也算有交集。

输出合并完成后的区间个数。

例如：\([1,3]\) 和 \([2,6]\) 可以合并为一个区间 \([1,6]\)。

【输入】

第一行包含整数 \(n\)。

接下来 \(n\) 行，每行包含两个整数 \(l\) 和 \(r\)。

【输出】

共一行，包含一个整数，表示合并区间完成后的区间个数。

【输入样例】

5
1 2
2 4
5 6
7 8
7 9

【输出样例】

3

【核心思想】

1. 问题分析：给定 \(n\) 个区间 \([l_i, r_i]\)，需要将所有有交集（包括端点相交）的区间合并，输出合并后的区间个数。这是一个经典的区间合并问题，关键在于如何高效地识别和合并相交区间。

2. 算法选择：

   • 贪心策略（Greedy）：通过排序将相交区间聚集在一起，然后线性扫描合并
   • 按左端点排序：将所有区间按照 \(l_i\) 从小到大排序，这样相交的区间会被排列在相邻位置
   • 维护当前合并区间：使用变量 \(st\) 和 \(ed\) 维护当前正在合并的区间起始和结束位置

3. 关键步骤：

   • 读取输入：\(n\)（区间数量）、\(n\) 个区间 \([l_i, r_i]\)
   • 按左端点排序：使用 sort(segs.begin(), segs.end()) 按左端点升序排序
   • 初始化合并区间：st = -2e9, ed = -2e9（表示当前无合并区间）
   • 遍历合并（遍历每个区间 \([l, r]\)）：
     • 无交集情况（ed < l）：当前区间与合并区间无交集
       • 如果不是第一个区间，将 \([st, ed]\) 加入结果
       • 开始新区间：st = l, ed = r
     • 有交集情况（ed >= l）：当前区间与合并区间有交集
       • 合并区间：ed = max(ed, r)
   • 处理最后一个区间：将最后一个合并区间加入结果
   • 输出结果：合并后的区间个数

4. 时间/空间复杂度：

   • 时间复杂度：\(O(n \log n)\)，排序 \(O(n \log n)\)，遍历合并 \(O(n)\)
   • 空间复杂度：\(O(n)\)，存储区间和合并结果

5. 区间合并的核心思想：

   • 排序预处理：按左端点排序是区间问题的基础，将相交区间聚集在一起
   • 贪心合并策略：维护当前合并区间的最右端点 \(ed\)，与新区间的左端点 \(l\) 比较判断是否相交
   • 边界处理：端点相交（ed == l）也算有交集，因此判断条件为 ed < l 而非 ed <= l
   • 扫描线思想：线性扫描已排序的区间，每次处理一个区间，时间复杂度线性
   • 适用于区间重叠检测、区间覆盖、日程安排等问题

【解题思路】

【算法标签】

贪心

【代码详解】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef pair<int, int> PII;  // 定义区间类型
const int N = 100010;
int n;  // 区间个数
vector<PII> segs;  // 存储所有区间

// 区间合并函数
void merge(vector<PII> &segs)
{
    vector<PII> res;  // 存储合并后的结果
    sort(segs.begin(), segs.end());  // 按左端点排序

    int st = -2e9, ed = -2e9;  // 当前合并区间的起始和结束
    for (auto seg : segs)  // 遍历所有区间
    {
        if (ed < seg.first)  // 当前区间与合并区间无交集
        {
            if (st != -2e9)  // 如果不是第一个区间
            {
                res.push_back({st, ed});  // 保存前一个合并区间
            }
            st = seg.first, ed = seg.second;  // 开始新的合并区间
        }
        else  // 当前区间与合并区间有交集
        {
            ed = max(ed, seg.second);  // 合并，更新右端点
        }
    }
    if (st != -2e9)  // 处理最后一个区间
    {
        res.push_back({st, ed});
    }
    segs = res;  // 更新原区间
}
int main()
{
    cin >> n;  // 输入区间个数
    for (int i = 0; i < n; i++)  // 输入每个区间
    {
        int l, r;
        cin >> l >> r;
        segs.push_back({l, r});
    }
    merge(segs);  // 合并区间
    cout << segs.size() << endl;  // 输出合并后的区间个数
    return 0;
}

【运行结果】

5
1 2
2 4
5 6
7 8
7 9
3