题解：AcWing 801 二进制中1的个数

【题目来源】

AcWing：801 二进制中1的个数 - AcWing题库

【题目描述】

给定一个长度为 \(n\) 的数列，请你求出数列中每个数的二进制表示中 \(1\) 的个数。

【输入】

第一行包含整数 \(n\)。

第二行包含 \(n\) 个整数，表示整个数列。

【输出】

共一行，包含 \(n\) 个整数，其中的第 \(i\) 个数表示数列中的第 \(i\) 个数的二进制表示中 \(1\) 的个数。

【输入样例】

5
1 2 3 4 5

【输出样例】

1 1 2 1 2

【核心思想】

1. 问题分析：给定 \(n\) 个整数，求每个整数的二进制表示中 \(1\) 的个数。这是一个位运算问题，关键在于高效地统计二进制中 \(1\) 的数量。

2. 算法选择：

   • lowbit 技巧：利用 x & -x 获取 \(x\) 的二进制表示中最低位的 \(1\) 所对应的值
   • 迭代消去：不断减去最低位的 \(1\)，直到 \(x\) 变为 \(0\)，统计减法次数即为 \(1\) 的个数

3. 关键步骤：

   • 定义 lowbit 函数：lowbit(x) = x & -x
     • 原理：-x 是 \(x\) 的补码（按位取反后加 \(1\)），x & -x 可以提取出最低位的 \(1\)
     • 例如：x = 10100（二进制），-x = 01100（补码），x & -x = 00100 = 4
   • 统计每个数字（对于每个输入的 \(x\)）：
     • 初始化 res = 0
     • 循环（当 \(x \neq 0\)）：
       • x -= lowbit(x)：减去最低位的 \(1\)
       • res++：计数器加 \(1\)
     • 输出 res

4. 时间/空间复杂度：

   • 时间复杂度：\(O(n \cdot \log x)\)，对于每个数字，最多进行 \(\log x\) 次循环（\(x\) 的二进制位数）
   • 空间复杂度：\(O(1)\)，仅使用常数额外空间

5. lowbit 的核心思想：

   • 补码性质：-x = ~x + 1，即 \(x\) 的按位取反加 \(1\)
   • 提取最低位 1：x & -x 的结果只保留 \(x\) 中最低位的 \(1\)，其余位都为 \(0\)
   • 快速消去：每次减去 lowbit(x) 可以消去一个 \(1\)，比逐位检查更高效
   • 适用场景：
     • 统计二进制中 \(1\) 的个数
     • 树状数组（Binary Indexed Tree）中的索引计算
     • 快速获取最低位的 \(1\) 的位置

【解题思路】

【算法标签】

位运算

【代码详解】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int lowbit(int x)  // 返回x的二进制表示中最低位的1所对应的值
{
    return x & -x;
}
int main()
{
    int n;
    cin >> n;  // 输入数字个数
    while (n--)  // 处理每个数字
    {
        int x;
        cin >> x;
        int res = 0;  // 统计1的个数
        while (x)  // 当x不为0
        {
            x -= lowbit(x);  // 减去最低位的1
            res++;  // 计数器+1
        }
        cout << res << " ";  // 输出结果
    }
    return 0;
}

【运行结果】

5
1 2 3 4 5
1 1 2 1 2